1.矩阵与线性变换
1.矩阵与线性变换
笔记来源：线性代数的本质：矩阵与线性变换
1.1 何为变换？
变换本质上是函数
变换暗示着要用运动的方式来思考
每一个输入向量都移动到对应的输出向量位置
为防止上图中箭头的拥挤，我们只保留每个向量的终点
为更好体会整个空间形状的改变，将网格上的所有点同时做变换
底层还保留了原始网格（未变换前），以便追踪终点和起点的关系
1.2 何为线性？
1.直线在变换后仍为直线，不能有所弯曲
2.原点保持固定
线性变换看作是“保持网格线平行且等距分布”的变换
1.3 矩阵
如何用数值去描述这些线性变换？
实际上只需要记录基向量变换后的位置即可
将矩阵解读为对空间的一种特定变换
变换前的基向量
i
、
j
\boldsymbol{i}、\boldsymbol{j}
i、j
i
=
[
1
0
]
j
=
[
0
1
]
\boldsymbol{i}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{j}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}
i=[10]j=[01]
变换前的向量
v
⃗
\vec{v}
v
v
⃗
=
[
−
1
2
]
\vec{v}=\begin{bmatrix} -1\\ 2 \end{bmatrix}
v
=[−12]
变换后的基向量
i
、
j
\boldsymbol{i}、\boldsymbol{j}
i、j
i
=
[
3
0
]
j
=
[
1
−
2
]
\boldsymbol{i}=\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{j}=\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}
i=[30]j=[1−2]
跟随基向量变换后的向量
v
⃗
\vec{v}
v
v
⃗
=
−
1
[
1
−
2
]
+
2
[
3
0
]
=
[
−
1
⋅
1
+
2
⋅
3
−
1
⋅
(
−
2
)
+
2
⋅
0
]
=
[
5
2
]
\vec{v}=-1\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\cdot 1+2\cdot 3\\ -1\cdot (-2)+2\cdot 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix}
v
=−1[1−2]+2[30]=[−1⋅1+2⋅3−1⋅(−2)+2⋅0]=[52]
1.3.1 旋转矩阵
1.3.2 剪切矩阵
1.4 列线性相关
此线性变换将这个二维空间挤压到了一条直线上