3Blue1Brown系列:矩阵与线性变换

1.矩阵与线性变换

1.矩阵与线性变换

笔记来源:线性代数的本质:矩阵与线性变换

1.1 何为变换?

变换本质上是函数

变换暗示着要用运动的方式来思考

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每一个输入向量都移动到对应的输出向量位置
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为防止上图中箭头的拥挤,我们只保留每个向量的终点
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为更好体会整个空间形状的改变,将网格上的所有点同时做变换
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底层还保留了原始网格(未变换前),以便追踪终点和起点的关系
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1.2 何为线性?

1.直线在变换后仍为直线,不能有所弯曲
2.原点保持固定

线性变换看作是“保持网格线平行且等距分布”的变换

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1.3 矩阵

如何用数值去描述这些线性变换?
实际上只需要记录基向量变换后的位置即可

将矩阵解读为对空间的一种特定变换

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变换前的基向量 i 、 j \boldsymbol{i}、\boldsymbol{j} i、j
i = [ 1 0 ] j = [ 0 1 ] \boldsymbol{i}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{j}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} i=[10​]j=[01​]
变换前的向量 v ⃗ \vec{v} v
v ⃗ = [ − 1 2 ] \vec{v}=\begin{bmatrix} -1\\ 2 \end{bmatrix} v =[−12​]
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变换后的基向量 i 、 j \boldsymbol{i}、\boldsymbol{j} i、j
i = [ 3 0 ] j = [ 1 − 2 ] \boldsymbol{i}=\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{j}=\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} i=[30​]j=[1−2​]
跟随基向量变换后的向量 v ⃗ \vec{v} v
v ⃗ = − 1 [ 1 − 2 ] + 2 [ 3 0 ] = [ − 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 2 ) + 2 ⋅ 0 ] = [ 5 2 ] \vec{v}=-1\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1\cdot 1+2\cdot 3\\ -1\cdot (-2)+2\cdot 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix} v =−1[1−2​]+2[30​]=[−1⋅1+2⋅3−1⋅(−2)+2⋅0​]=[52​]
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1.3.1 旋转矩阵

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1.3.2 剪切矩阵

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1.4 列线性相关

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此线性变换将这个二维空间挤压到了一条直线上
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