1. 矩阵乘法与线性变换复合
笔记来源：线性代数的本质：矩阵乘法与线性变换复合
矩阵乘法：一种变换后再进行另一种变换
例如 ：先旋转后剪切
矩阵是原始基向量经过变换后新基向量的集合，后面的向量跟随新基向量作了哪些变换
黄色字体的向量为要变换的某个向量
先进行旋转，再进行剪切
例如：
原始基向量为
i
=
[
1
0
]
j
=
[
0
1
]
\boldsymbol{i}= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{j}= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}
i=[10]j=[01]
第一次基向量变为
i
=
[
1
1
]
j
=
[
−
2
0
]
\boldsymbol{i}= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{j}= \begin{bmatrix} -2\\ 0 \end{bmatrix}
i=[11]j=[−20]
第一次基向量变为
i
=
[
1
1
]
j
=
[
−
2
0
]
\boldsymbol{i}= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{j}= \begin{bmatrix} -2\\ 0 \end{bmatrix}
i=[11]j=[−20]
第二次基向量变为
i
=
[
0
1
]
j
=
[
2
0
]
\boldsymbol{i}= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{j}= \begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix}
i=[01]j=[20]
在第二次变换中，将第一次变换得到的基向量
i
=
(
1
,
1
)
T
\boldsymbol{i}=(1,1)^T
i=(1,1)T 看作某个向量进行第二次变换
也就是说矩阵是原始基向量经过变换后新基向量的集合，后面的向量跟随新基向量作了哪些变换
在第二次变换中，将第一次变换得到的基向量
j
=
(
−
2
,
0
)
T
\boldsymbol{j}=(-2,0)^T
j=(−2,0)T 看作某个向量进行第二次变换
也就是说矩阵是原始基向量经过变换后新基向量的集合，后面的向量跟随新基向量作了哪些变换
M
2
M
1
≠
M
1
M
2
M_2M_1\neq M_1M_2
M2M1=M1M2