斯坦福凸优化课程Video2-2_


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notebook: 6- 英文课程-14-convex optimization
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斯坦福凸优化课程Video2-2

超平面和半空间hyperplane and half place

类似于形式 斯坦福凸优化课程Video2-2_,就是一种超平面,在这里A和是向量,b是标量,所以x是一个向量,代表了一个平面或者一个超平面(在不同的维度上)。

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对于半空间,其实就是把上文中平面的方程中的等号边成不等号,所表示的区域就从平面变成了整个空间的一部分,也称为半空间。定义如下:

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球和椭圆ellipsoids

我们还可以用模的形式对其他的一些图形集合进行描述,比如球

可以用如下的形式描述:

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可以看到双竖线描述的是范数,可以理解为距离,这个不等式将x与x0的距离约束到了r以内,就描述了一个球的集合。
还可以用另外一个描述方式,就是圆心和半径的形式,思想式相同的。

当然还可以描述椭球,方程如下:

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这个方程式是之前的球的方程的一个边形,不等式左边的是一个二次型,描述了x与xc的二次型的表达。从而描述了一个被压扁的圆,也就是椭圆。

模球和模锥

首先介绍模的概念:模描述的是两个点之间的距离,模有如下三个规则。
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  • 第一个是恒大于0
  • 第二个是可以提出系数
  • 还有就是三角不等式,使用距离的定义都很好理解

polyhedra 多面体

一系列的线性不等式的解我们称为多面体,线性不等式可以描述为下面的形式:

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其中斯坦福凸优化课程Video2-2_这个符号表示 矩阵的不等关系,这个方程的解再二维条件下得到的解区域为
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positive semidefinite cone 正半定锥

下面我们要定义这样几个符号:

  1. 斯坦福凸优化课程Video2-2_ 是一个n维空间中的集合
  2. 斯坦福凸优化课程Video2-2_ 是一个集合,集合里的元素满足约束斯坦福凸优化课程Video2-2_,也就是说,对于斯坦福凸优化课程Video2-2_中的所有的元素,他们都满足》= 0的约束,我们再下面的例子中也可以看到。
  3. 斯坦福凸优化课程Video2-2_ 这个的概念和上面的 斯坦福凸优化课程Video2-2_ 差不多,只不过将大于等于变成了严格的大于。

举个例子来说,就是这样,如果我们的方程是这样的:
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那么得到的解就是,他组成的二次型大于0,画出图像来是这样的。
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