title: 斯坦福凸优化课程Video2-3
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notebook: 6- 英文课程-14-convex optimization
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斯坦福凸优化课程Video2-3
凸集合的变换
交运算
凸集合的交集同样是凸集合
我们可以从一个例子来讨论这个问题。
这样的一个集合是不是凸的集合呢?
可以看到,方程拥有和两个限制。并且是拥有m个未知数。
为了更好的理解这个问题,我们先讨论两个未知数的情况。这样更加的直观
我们画出x1和x2的两条曲线,是这样的:
让他们的和小于1,并且让t取值会得到这样的曲线。
显然这也是凸的,但是这只是个形象的例子,为了让大家理解,真正的证明十分复杂。
Affine function 仿射函数
其实就是线性函数,也叫映射函数。
我们首先看看定义:
这是一个线性的映射,X乘以一个数,再加上一个数,我们有定义说,经过仿射函数变换的凸集合还是凸集合。
用数学表述上面的话时这样的
他的逆映射同样时凸的:
再这个定理下,我们可以推出缩放,转制,和投影等集合的操作都不会改变集合的凸性。
仿射函数的例子
我们看这样的变换会有更深刻的理解。
在这个函数下,图片会产生这样的变化:
当然这个集合并不是一个凸集合,我们这样画只是让大家看清楚。
推广不等式
真锥的定义,一个凸集K要满足如下的条件可称为真锥:
- K是闭集
- k是实心的,就是说有一定的面积
- 可点的,就是他不包括任何一条直线
例子:
比如是这个方程描述的,非负区域
或者正有限锥:
通用的不等式
借助真锥的定义,我们可以进行真锥的普适的定义,如下:
这个方程表示,如果有上述方程,那么说明x-y是在真锥中的。
还有这样的严格的不等关系:
他的一般的使用情况是这样的:
分支不等式:
还有矩阵不等式:
使用这个记号主要是用来拓展不等号。
和平常不同的地方
我们可以看到这个符号并不能比较所有的向量,有的时候两个都是错的,我们举个例子来说。
最小元素
先看一个例子:
在例子中x1是S1的最小元素,
为什么呢?
我们用前面的表示方法,可以这样定义最小元素。
就是所有的维度都最小的元素是最小元素。