斯坦福凸优化课程Video2.3_


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notebook: 6- 英文课程-14-convex optimization
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斯坦福凸优化课程Video2-3

凸集合的变换

交运算

凸集合的交集同样是凸集合

我们可以从一个例子来讨论这个问题。
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这样的一个集合是不是凸的集合呢?

可以看到,方程拥有斯坦福凸优化课程Video2.3_斯坦福凸优化课程Video2.3_两个限制。并且是拥有m个未知数。
为了更好的理解这个问题,我们先讨论两个未知数的情况。这样更加的直观

我们画出x1和x2的两条曲线,是这样的:
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让他们的和小于1,并且让t取值斯坦福凸优化课程Video2.3_会得到这样的曲线。
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显然这也是凸的,但是这只是个形象的例子,为了让大家理解,真正的证明十分复杂。

Affine function 仿射函数

其实就是线性函数,也叫映射函数。
我们首先看看定义:
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这是一个线性的映射,X乘以一个数,再加上一个数,我们有定义说,经过仿射函数变换的凸集合还是凸集合。

用数学表述上面的话时这样的
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他的逆映射同样时凸的:
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再这个定理下,我们可以推出缩放,转制,和投影等集合的操作都不会改变集合的凸性。

仿射函数的例子

我们看这样的变换会有更深刻的理解。
在这个函数下,图片会产生这样的变化:
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当然这个集合并不是一个凸集合,我们这样画只是让大家看清楚。

推广不等式

真锥的定义,一个凸集K要满足如下的条件可称为真锥:

  • K是闭集
  • k是实心的,就是说有一定的面积
  • 可点的,就是他不包括任何一条直线

例子:
比如是这个方程描述的,非负区域
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或者正有限锥:
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通用的不等式

借助真锥的定义,我们可以进行真锥的普适的定义,如下:
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这个方程表示,如果有上述方程,那么说明x-y是在真锥中的。

还有这样的严格的不等关系:
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他的一般的使用情况是这样的:
分支不等式: 斯坦福凸优化课程Video2.3_
还有矩阵不等式:斯坦福凸优化课程Video2.3_

使用这个记号主要是用来拓展不等号。

和平常不同的地方

我们可以看到这个符号斯坦福凸优化课程Video2.3_并不能比较所有的向量,有的时候两个都是错的,我们举个例子来说。
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最小元素

先看一个例子:

在例子中x1是S1的最小元素,
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为什么呢?

我们用前面的表示方法,可以这样定义最小元素。
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就是所有的维度都最小的元素是最小元素。

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