题目：

Binary Tree Maximum Path Sum

Given a binary tree, find the maximum path sum.

The path may start and end at any node in the tree.

For example:
Given the below binary tree,

       1

      / \

     2   3

Return 6.

节点可能为负数，寻找一条最路径使得所经过节点和最大。路径可以开始和结束于任何节点但是不能走回头路。

这道题虽然看起来不同寻常，但是想一下，可以发现不外乎二叉树的遍历+简单的动态规划思想。

我们可以把问题拆分开：即便最后的最大路径没有经过根节点，它必然也有自己的“最高点”，因此我们只要针对所有结点，求出：如果路径把这个节点作为“最高点”，路径最长可达多少？记为max。然后在max中求出最大值MAX即为所求结果。和“求整数序列中的最大连续子序列”一样思路。

下面就是找各个“最高点”对应的max之间的关系了。

我们拿根节点为例，对于经过根节点的最大路径的计算方式为：

我们找出左子树中以左孩子为起点的最大路径长度a，和右子树中以右孩子为起点的最大路径长度b。然后这个点的 max = MAX(a+b+node.val, a+node.val, b+node.val, node.val)

因此我们定义一个函数来算上面的a或者b，它的参数是一个节点，它的返回值是最大路径长度，但是这个路径的起点必须是输入节点，而且路径必须在以起点为根节点的子树上。

那么函数func(node)的return值可以这样定义：return MAX(func(node.left)+node.val, func(node.right)+node.val, node.val)

终止条件是node == null，直接返回0。

接着我们发现上述计算max 和 求出MAX的过程完全可以放到func(node) 里去。

按照这个思路的代码，maxPathSumCore 就是上面 func(node)的实现：

/**

 * Definition for binary tree

 * struct TreeNode {

 *     int val;

 *     TreeNode *left;

 *     TreeNode *right;

 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}

 * };

 */

class Solution {

public:

    int maxPathSum(TreeNode *root) {

        maxPathSumCore(root);

        return MAX;

    }

    int maxPathSumCore(TreeNode *node) {

        if(NULL == node) return ;

        int a = maxPathSumCore(node -> left);

        int b = maxPathSumCore(node -> right);

        if((a+b+node->val) > MAX) MAX = (a+b+node->val);

        if((a+node->val) > MAX) MAX = (a+node->val);

        if((b+node->val) > MAX) MAX = (b+node->val);

        if(node->val > MAX) MAX = node->val;

        int maxViaThisNode = ((a + node->val) > node->val ? (a + node->val) : node->val);

        return (maxViaThisNode > (b + node->val) ? maxViaThisNode : (b + node->val));

    }

private:

    int MAX= -;

};

时间复杂度 O(n)，n为总节点数。