Given a binary tree, find the maximum path sum.

The path may start and end at any node in the tree.

For example:
Given the below binary tree,

       1

      / \

     2   3

Return6.

思路：题目中说明起始节点可以是任意节点，所以，最大的路径和不一样要经过root，可以是左子树中某一条，或者是右子树中某一条，当然也可能是经过树的根节点root的。递归式是应该是这三者中选出最大者。这题是看完yucoding的博客才算可能理解，这里只是用中文讲解该博客中的分析过程。举例子：

对树中的任一节点，当有一条路径经过它时（不一定为最大），有两种情况：

1)“顶节点”为当前节点时，如当前节点为2时，路径为6->4->2->5->-3；

2)“顶节点”为当前节点的父节点1，当前节点为2时，路径为-3->5->2->1->-3->6

对某个节点a，最大路径为：

i) max_top(a)为第一种情况下的最大路径和；

ii) max_single(a)为第二种情况下的最大路径和；

则，max_top(a)=Max{max_single(a), max_single(a->left)+max_single(a->right)+a->val, a->val};

max_single(a)=Max{max_single(a->left)+a->val, max_single(a->right)+a->val, a->val};

最每个节点a，res=max(res, max_top(a))。

其实，个人这样理解的，以当前点为“顶结点”，则，需从只有一条子树的和、两条子树加顶点的和、该顶点的值三种中选出最大值作为所求值；若以当前点的父结点为顶结点，说明这条路径必须经过该父结点，所以，求经过当前结点的路径，只能是从叶结点到当前结点（再到父结点），即只有一条而不能是两条之和，若是再求两条之后，则后续就不能通过该父结点了。

 /**

  * Definition for binary tree

  * struct TreeNode {

  *     int val;

  *     TreeNode *left;

  *     TreeNode *right;

  *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}

  * };

  */

 class Solution {

 public:

     int maxPathSum(TreeNode *root)

     {

         int res = root->val;

         maxPathSumDFS(root, res);

         return res;

     }

     int maxPathSumDFS(TreeNode *root, int &res) {

         if (!root) return ;

         int left = maxPathSumDFS(root->left, res);

         int right = maxPathSumDFS(root->right, res);

         int top = root->val + (left >  ? left : ) + (right >  ? right : ); //第一种

         res = max(res, top);

         return max(left, right) >  ? max(left, right) + root->val : root->val;   //第二种

     }

 };

//代码来源Grandyang