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奔小康赚大钱
Problem Description
传说在遥远的地方有一个非常富裕的村落,有一天,村长决定进行制度改革：重新分配房子。
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).
Input
输入数据包含多组测试用例，每组数据的第一行输入n,表示房子的数量(也是老百姓家的数量)，接下来有n行,每行n个数表示第i个村名对第j间房出的价格(n<=300)。
Output
请对每组数据输出最大的收入值，每组的输出占一行。
Sample Input
2
100 10
15 23
Sample Output
123
解题分析：
带权二分图的最优匹配问题，需要用到KM算法。KM算法讲解可以看这里 >>>
以下代码和讲解转载于 >>>
但是，我们普通的dfs版的KM算法复杂度比较伪，只针对随机数据复杂度为$O(n^3)$,对于极限数据（w[i][j]很大）slack优化作用不显著，有可能被卡到$O(n^4)$
dfs版KM：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; const int N=;
const int INF = 0x3f3f3f3f; int n,nx,ny;
int linker[N],lx[N],ly[N],slack[N]; //lx,ly为顶标，nx,ny分别为x点集y点集的个数
int visx[N],visy[N],w[N][N]; int DFS(int x){
visx[x]=;
for(int y=;y<=ny;y++){
if(visy[y])continue; //每次只常识匹配一次y，相当于匈牙利中的vis[]
int tmp=lx[x]+ly[y]-w[x][y]; //x,y期望值之和与x,y之间的权值的差值
if(tmp==){ //x,y之间期望值==他们之间权值时符合要求
visy[y]=;
if(linker[y]==- || DFS(linker[y])){ //y没有归属者，或者y的原始归属者能够找到其他归属者
linker[y]=x;
return ;
}
}else slack[y]=min(slack[y],tmp);
}
return ;
} int KM(){
int i,j;
memset(linker,-,sizeof(linker));
memset(ly,,sizeof(ly)); //初始化，y的期望值为0
for(i=;i<=nx;i++) //lx为x的期望值,lx初始化为与它关联边中最大的
for(j=,lx[i]=-INF;j<=ny;j++)
if(w[i][j]>lx[i])
lx[i]=w[i][j];
//为每一个x尝试解决归属问题
for(int x=;x<=nx;x++){
for(i=;i<=ny;i++)slack[i]=INF;
while(true){
memset(visx,,sizeof(visx));
memset(visy,,sizeof(visy));
if(DFS(x))break; //若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广
//若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。
//方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，
//所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d
int d=INF;
for(i=;i<=ny;i++)
if(!visy[i])d=min(slack[i],d); //d为没有匹配到的y的slack中的最小值
for(i=;i<=nx;i++)
if(visx[i])lx[i]-=d;
for(i=;i<=ny;i++)
if(visy[i])ly[i]+=d;
else slack[i]-=d; //修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d
}
}
int res=;
for(i=;i<=ny;i++)
if(linker[i]!=-)
res+=w[linker[i]][i];
return res;
} int main(){
while(~scanf("%d",&n)){
nx=ny=n;
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
scanf("%d",&w[i][j]);
int ans=KM();
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}
bfs版KM：复杂度真正为$O(n^3)$ (待补)