用大O记号法测量算法的效率（Algorithm efficiency Asymptotic notation Big O notation）

2021-10-14 13:36:50

为什么要了解算法的效率？

一般来说，编程就是把各种已知的算法代入到自己的代码当中，以此来解决问题。因此，了解各种算法的效率对于我们选择一个合适的算法有很大帮助。

算法的效率由什么确定？

从算法分析的理论来讲，算法的效率通常由它们的复杂度来评估，包括时间复杂度和空间复杂度。由于现代计算机RAM空间充足，因此一般优先考虑时间复杂度。

时间复杂度用渐近记号(asymptotic notation)来表示，通常有 O、 Θ和Ω 记号法。渐进的意思就是当问题的规模变大时，解决这个问题所耗费的时间增加了多少。

（注：当规模较小时，无论是高效的算法还是低效的算法，时间耗费差距不明显，很可能产生误导的结果。所以算法分析针对大规模输入。）

如何测量算法的时间复杂度？

一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和基本操作（指固有数据类型的操作）构成的，算法的运行时间与算法中语句的执行次数成正比例，某个算法中语句执行次数多，它运行花费的时间就多。比较同一个问题的不同算法的效率，通常的做法是，选取该算法的基本操作，以其基本操作的重复执行次数作为算法的时间量度，记为时间频度T(n)。n为问题的规模，当n不断变化时，T(n)也会不断变化。一般情况下，算法中重复执行基本操作的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示。若有某个辅助函数f(n)，当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=Ｏ(f(n))。称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

（注：为什么不直接查看算法的运行时间呢？因为算法的运行时间受很多因素影响，例如计算机处理器的性能，计算机是否同时还在运行其他程序，等等。）

大O记号法（big O notation，O代表omicron，为希腊字母第15个字）的定义：

对于规模为 n的输入，当n增大时，运行这个函数所增加的运行时间的上界。

算法运行的几种情况（以在一个有n个元素的数列中查找某个元素为例）：

最好情况(Best Case)：第一次就找到了，表示为O(1)
期望情况(Expected Case)：在数列中间的某个位置m找到，表示为O(m)
最坏情况(Worst Case)：在数列最后才找到，表示为O(n)

在实际使用中，我们一般仅考量算法在最坏情况下的运行情况，也就是对于规模为 n 的输入，算法的最长运行时间。这样做的理由是：

一个算法在最坏情况下的运行时间是在任何输入下运行时间的一个上界（Upper Bound），不管其他情况如何，运行时间不会更长
对于某些算法来说，最坏情况出现的次数还是比较频繁的，比如在数据库中检索一条实际并不存在的记录
很多时候，算法的期望情况和最坏情况一样差。例如插入排序在最坏情况下（数组事先逆序）和平均情况下（假设有一半逆序），复杂度均为O(n²)

算法复杂度的类型：

O(1) --- 常量复杂度（constant complexity）

O(n) --- 线性复杂度（linear complexity） its runtime grows "on the order of the size of the input"

O(n²) --- 二次方复杂度（quadratic complexity） its runtime grows "on the order of the square of the size of the input"

O(log n) --- 对数复杂度（logarithmic complexity）

O(cⁿ) --- 指数复杂度(（exponential complexity）

其他还有O(n³)三次方复杂度，O(n!)阶乘复杂度等等。

用例子来说明不同类型的算法复杂度：

假设我们现在要自己写一段代码来计算a^b的结果（b为正整数）。

方法一：

def exp1(a,b):

    ans=1

    while b>0:

        ans*=a

        b-=1

    return ans

此算法基本步骤为：3b+2步（每个循环里面有3步，一共循环b次，再加上初始ans赋值和返回ans值这两步）。当b足够大时，其他数字都不重要了，因此这个算法是一个线性复杂度的算法。

方法二：

def exp2(a,b):

    if b==1:

        return a

    return a*exp2(a,b-1)

此算法基本步骤为：3b-1步（此处省略推算过程，具体可见参考视频第12分钟处）。因此这个算法也是一个线性复杂度的算法。

方法三：

def exp3(a,b):

    if b==1:

        return a

    if b%2==0:  # 如果b是偶数

        return (a*a)**(b/2)

    else:   # 如果b是奇数，a的b次方等于a*a**(b-1)

        return a*exp3(a,b-1)

此算法基本步骤为：log b步（此处省略推算过程，具体可见参考视频第17分钟处）。因此这个算法是一个对数复杂度的算法。

方法四：

def exp4(a,b):

    ans=0

    for i in range(a):

        for j in range (b):

            ans+=1

    return ans

此算法基本步骤为：b²步（此处省略推算过程，具体可见参考视频第20分钟处）。因此这个算法是一个二次方复杂度的算法。

不同类型算法复杂度的时间增长对比：

O(1) --- 输入增大10倍，解决问题的时间不变

O(n) --- 输入增大10倍，解决问题的时间相应增大10倍

O(log n) --- 输入增大10倍，解决问题的时间相应增大1倍

O(n²) --- 输入增大10倍，解决问题的时间相应增大100倍

总结：

1，大O记号法表示算法运行时间的增速。

2，大O记号法并不是以秒为单位，而是用于比较最坏情况下的操作数。

3，当n很大时，O(log n)要比O(n)快很多。

参考：麻省理工学院公开课：计算机科学及编程导论（第8课）

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