引入1：随机变量函数的分布

给定X的概率密度函数为f_X(x), 若Y = aX, a是某正实数，求Y得概率密度函数f_Y(y).

解：令X的累积概率为F_X(x), Y的累积概率为F_Y(y).

则 F_Y(y) = P(Y <= y) = P(aX <= y) = P(X <= y/a) = F_X(y/a),

则 f_Y(y) = d(F_X(y/a)) / dy = 1/a * f_X(x/a)

引入2：如何定义信息量

• 某事件发生的概率小，则该事件的信息量大；
• 如果两个事件X和Y独立，即p(xy) = p(x)p(y)，假定X和Y的信息量分别为h(X)和h(Y)，则二者同时发生的信息量应该为h(XY) = h(X) + h(Y).
• 定义事件X发生的概率为：p(x),则X的信息量为：h(p(x)) = -lnp(x)
  • 那么，事件X的信息量的期望如何计算呢？

一句话总结最大熵模型：

1. 我们的假设应当满足全部已知条件；

2. 对未知的情况不做任何主观假设。

（一）熵

对随机事件的信息量求期望，得熵的定义：

H(X) = -Σp(x)lnp(x)

• 经典熵的定义，底数是2，单位为bit;
• 为了方便计算可以使用底数e，则单位为nat(奈特)。

可以得到，当一个变量X服从均匀分布时，它所包含的信息熵是最大的。

计算如下：

p(xi) = 1/N, 则熵为：H(p) = -Σpi * lnpi = -Σ1/N * ln(1/N) = lnN

所以，我们可以得到如下结论：

• 0 <= H(X) <= ln|X|
• 熵是随机变量不确定性的度量，不确定性越大，熵值越大；
  • 若随机变量退化为定值，则熵最小，为0；
  • 锁随机分布为均匀分布，熵最大。
• 这是无条件的最大熵分布，那如果是有条件的，该怎么做呢？
  • 使用最大熵模型
  • 若只给定期望和方差的前提下，最大熵的分布形式是什么？

引理：根据函数的形式判断概率分布

例如：

所以，我们可以得到，正态分布的对数是关于随机变量x的二次函数：

根据计算过程的可逆性，若某对数分布能够写成随机变量二次形式，则该分布必然是正态分布。

再回到我们的问题上来，给定某随机变量的期望与方差，它的最大熵的分布形式是什么？

已知Var(X) = E(X²) - E(X)² ，则 E(X²) = Var(X) - E(X)² = σ² - μ²,

所以我们将上述目标函数改写为：

然后，建立Lagrange函数并求驻点：

由于P(x)的对数是关于随机变量x的二次形式，我们可以根据函数的形式判断概率分布，所以该分布p(x)必然是正态分布。

如果没有约束条件，最大熵对应的的分布为均匀分布；

如果给出了一定期望和方差，则最大熵对应的分布为正态分布。

（二）联合熵和条件熵

• 两个随机变量X，Y的恋歌分布，可以形成联合熵（Joint Entropy），用H(X, Y)表示。
  • 即：H(X, Y) = -Σp(x, y) lnp(x, y)
• H(X, Y) - H(Y)
  • 表示(X, Y)发生所包含的熵，减去Y单独发生包含的熵：在Y发生的前提下，X发生新带来的熵。
• 条件熵：H(X|Y)
• 

（三）相对熵/交叉熵/K-L散度

相对熵，又称互熵，交叉熵，鉴别信息，Kullback-Leible散度等。

相对熵具有如下性质：

• 相对熵可以度量两个随机变量的距离；
• 一般不具有对称性，即D(p||q) ≠ D(q||p)，当且仅当p = q, 则相对熵为0，二者相等;
• D(p||q) >= 0,  D(q||p) >= 0.

那么，我们应该使用D(p||q) 还是 D(q||p)呢？

假定已知随机变量P，求一个随机变量Q，使得Q尽量接近于P，这样我们可以使用P和Q的K-L来度量他们的距离。

• 假定使用KL(Q || P)，为了让距离最小，则要求P为0的地方，Q尽量为0。这样会得到比较瘦高的分布曲线；
• 假定使用KL(P || Q)，为了让距离最小，则要求P不为0 的地方，Q也尽量不为0。这样会得到比较矮胖的分布曲线。

（四）互信息

两个随机变量X，Y的互信息，定义为X，Y的联合分布和独立分布乘积的相对熵。

即： I(X, Y) = D(P(X, Y) || P(X)P(Y))

即： 

可以通过简单的计算得到：

H(X|Y) = H(X) - I(X, Y),

互信息为0，则随机变量X和Y是互相独立的。

（五）各种熵之间的关系

• H(X|Y) = H(X, Y) - H(Y); H(Y|X) = H(X, Y) - H(X) —— 条件熵的定义
• H(X|Y) = H(X) - I(X, Y); H(Y|X) = H(Y) - I(X, Y)
• I(X, Y) = H(X) - H(X|Y) = H(X) + H(Y) - H(X, Y) —— 也可以作为互信息的定义
• H(X|Y) <= H(X)：
  • H(X)表示X的不确定度；H(X|Y)表示给定Y的情况下，X的不确定度。
  • 如果X与Y完全独立，则二者相等（给不给Y对X能给出多少信息无关）；
  • 而如果X与Y不是独立的，则给定Y之后会降低X的熵，即X的不确定性会降低。

用Venn图帮助记忆：

（六）最大熵模型

最大熵模型的原则：

• 承认已知事物（知识）；
• 对未知事物不做任何假设，没有任何偏见。

对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。

因为这时概率分布的信息熵最大，所以人们把这种模型叫做“最大熵模型”（Maximum Entropy）。

最大熵模型一般是在给定条件下求条件熵，所以我们可以使用Lagrange乘子法来解决。

1）最大熵的一般模型

2）Lagrange函数为：

其中，含λ_i的第一个约束项表示我们的模型要能够很好的解释初始数据集，f_i(x, y)表示我们选取的第i个特征；含ν₀的第二个约束项表示概率加和为1.

p(x, y) = p(y | x) * p(x)，而p(x)是已知的，所以我们用p(x)_bar来表示已知量。

 3）对p(y|x)求偏导

其中，为了计算方便，我们令ν₀ = λ₀ * p(x). 然后得到其最优解形式，如红框内所示。

4）归一化

上面通过求偏导得到的p^*是没有经过归一化的，加上归一化因子z_λ(x)。

5）与Logistic/SoftMax回归的对比

• Logistic/SoftMax回归的后验概率形式：
  • 
• 最大熵模型的后验概率形式：
  • 

Logistic回归是统计学习中的经典分类方法，可以用于二类分类也可以用于多类分类。

最大熵模型由最大熵原理推导出来，最大熵原理是概率模型学习或估计的一个准则，最大熵原理认为在所有可能的概率模型的集合中，熵最大的模型是最好的模型，最大熵模型也可以用于二类分类和多类分类。

Logistic回归模型与最大熵模型都属于对数线性模型。

逻辑回归跟最大熵模型没有本质区别。逻辑回归是最大熵对应类别为二类时的特殊情况

指数簇分布的最大熵等价于其指数形式的最大似然。

二项式分布的最大熵解等价于二项式指数形式(sigmoid)的最大似然； 
多项式分布的最大熵等价于多项式分布指数形式(softmax)的最大似然。

求最大熵的问题最后可以化成MLA的问题做，两者的出发点不同，但是最终的形式是一样的。

中心极限定理：一组有确定方差的独立随机变量的和趋近于高斯分布。即给定随机变量X和Y，则X+Y比X或Y更接近于高斯分布。

【总结】

• 根据最大似然估计的正确性可以断定：最大熵的解（无偏的对待不确定性）是最符合样本数据分布的解，即最大熵模型的合理性；
• 信息熵可以作为概率分布集散程度的度量，使用熵的近似可以推导出gini系数，在统计问题、决策树等问题中有重要应用；
• 熵：不确定性的度量；
• 似然：与知识的吻合程度；
• 最大熵模型：对不确定度的无偏分配；
• 最大似然估计：对知识的无偏理解。