熵的概念在统计学习与机器学习中真是很重要，熵的介绍在这里：信息熵 Information Theory 。今天的主题是最大熵模型（Maximum Entropy Model，以下简称MaxEnt），MaxEnt 是概率模型学习中一个准则，其思想为：在学习概率模型时，所有可能的模型中熵最大的模型是最好的模型；若概率模型需要满足一些约束，则最大熵原理就是在满足已知约束的条件集合中选择熵最大模型。最大熵原理指出，对一个随机事件的概率分布进行预测时，预测应当满足全部已知的约束，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小，因此得到的概率分布的熵是最大。

直观理解 MaxEnt

在求解概率模型时，当没有任何约束条件则只需找到熵最大的模型，比如预测一个骰子的点数，每个面为 $\frac{1}{6}$， 是， 当模型有一些约束条件之后，首先要满足这些约束条件， 然后在满足约束的集合中寻找熵最大的模型，该模型对未知的情况不做任何假设，未知情况的分布是最均匀的。举例来说对于随机变量 $X$ ，其可能的取值为 $\left \{ A,B,C\right\}$ ，没有任何约束的情况下下，各个值等概率得到的 MaxEnt 模型为：

\[P(A) = P(B) = P(C)  = \frac{1}{3}\]

当给定一个约束 $P(A)=  \frac{1}{2}$ , 满足该约束条件下的 MaxEnt 模型是：

\[P(A) = \frac{1}{2}\]

\[P(B) = P(C) = \frac{1}{4}\]

如果用欧式空间中的 simplex 来表示随机变量 $X$ 的话，则 simplex 中三个顶点分别代表随机变量 $X$ 的三个取值 A, B, C , 这里定义 simplex  中任意一点 $p$ 到三条边的距离之和（恒等于三角形的高）为 1，点到其所对的边为该取值的概率，比如任给一点 $p$ ，则$P(A)$ 等于 $p$ 到  边 BC 的距离，如果给定如下概率：

\[P(A) = 1 ,P(B) =P(C) = 0\]

\[P(A) = P(B) =P(C) = \frac{1}{3}\]

分别用下图表示以上两种情况：

明白了 simplex 的定义之后，将其与概率模型联系起来，在 simplex 中，不加任何约束，整个概率空间的取值可以是 simplex 中的任意一点，只需找到满足最大熵条件的的即可；当引入一个约束条件 $C_1$ 后，如下图中 (b),模型被限制在 $C_1$ 表示的直线上，则应在满足约束 $C_1$ 的条件下来找到熵最大的模型；当继续引入条件 $C_2$ 后，如图(c)，模型被限制在一点上，即此时有唯一的解；当 $C_1$ 与 $C_2$ 不一致时，如图(d)，此时模型无法满足约束，即无解。在 MaxEnt 模型中，由于约束从训练数据中取得，所以不会出现不一致。即不会出现(d) 的情况。

接下来以统计建模的形式来描述 MaxEnt 模型，给定训练数据 $\left \{ (x_i,y_i)\right\}_{i=1}^N$ ，现在要通过Maximum Entrop 来建立一个概率判别模型，该模型的任务是对于给定的 $X = x$ 以条件概率分布 $P(Y|X = x )$ 预测 $Y$ 的取值。根据训练语料能得出 $(X,Y)$ 的经验分布， 得出部分 $(X,Y)$ 的概率值，或某些概率需要满足的条件,即问题变成求部分信息下的最大熵或满足一定约束的最优解，约束条件是靠特征函数来引入的，首先先回忆一下函数期望的概念

对于随机变量 $X = x_i,i = 1,2,… $，则可以得到：

随机变量期望: 对于随机变量 $X$ ，其数学期望的形式为 $ E(X) = \sum_ix_ip_i$

随机变量函数期望：若 $Y = f(X)$ ， 则关于 $X$ 的函数 $Y$ 的期望： $E(Y) = \sum_if(x_i)p_i$.

特征函数

特征函数 $f(x,y)$ 描述 $x$ 与 $y$ 之间的某一事实，其定义如下：

\[ f(x,y) = \left \{ \begin{aligned}
1, & \ 当 \ x、y \ 满足某一事实.\\
0,   & \ 不满足该事实.\\
\end{aligned}\right .\]

特征函数 $f(x,y)$ 是一个二值函数， 当 $x$ 与 $y$ 满足事实时取值为 1 ，否则取值为 0 。比如对于如下数据集：

数据集中，第一列为 Y ，右边为 X ，可以为该数据集写出一些特征函数，数据集中得特征函数形式如下：

\[ f(x,y) = \left \{ \begin{aligned}
1, & \ if \ x= Cloudy \ and \ y=Outdoor.\\
0,   & \ else.
\end{aligned}\right.\]

为每个 <feature,label> 对 都做一个如上的特征函数，用来描述数据集数学化。

约束条件

接下来看经验分布，现在把训练数据当做由随机变量 $(X,Y)$ 产生,则可以根据训练数据确定联合分布的经验分布 $\widetilde{P}(X,Y)$ 与边缘分布的经验分布 $\widetilde{P}(X)$ :

\begin{aligned}
\widetilde{P}(X = x,Y = y) &= \frac{count(X=x,Y= y)}{N}\\
\widetilde{P}(X = x) &= \frac{count(X=x)}{N}
\end{aligned}
用 $E _{\widetilde{P}}(f)$ 表示特征函数 $f(x,y)$ 关于经验分布 $\widetilde{P}(X ,Y )$ 的期望，可得：

\[E _{\widetilde{P}}(f)  = \sum_{x,y}\widetilde{P}(x ,y)f(x,y) = \frac{1}{N} \sum_{x,y}f(x,y) \]

$\widetilde{P}(x ,y)$ 前面已经得到了，数数 $f(x,y)$ 的次数就可以了，由于特征函数是对建立概率模型有益的特征，所以应该让 MaxEnt 模型来满足这一约束，所以模型 $P(Y|X)$  关于函数 $f$ 的期望应该等于经验分布关于 $f$ 的期望，模型 $P(Y|X)$ 关于 $f$ 的期望为：

\[E_P(f) =\sum_{x,y}P(x,y)f(x,y) \approx  \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P(y|x)f(x,y)\]

经验分布与特征函数结合便能代表概率模型需要满足的约束，只需使得两个期望项相等， 即 $E_P(f) = E _{\widetilde{P}}(f)$ ：

\[\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)p(y|x)f(x,y) =  \sum_{x,y}\widetilde{P}(x ,y)f(x,y)\]

上式便为 MaxEnt 中需要满足的约束，给定 $n$ 个特征函数 $f_i(x,y)$ ，则有 $n$ 个约束条件，用 $C$ 表示满足约束的模型集合：

\[C = \left\{ P \ | \ E_P(f_i) = E _{\widetilde{P}}(f_i) ,I = 1,2,…,n \right \}\]

从满足约束的模型集合 $C$ 中找到使得 $P(Y|X)$ 的熵最大的即为 MaxEnt 模型了。

最大熵模型

关于条件分布 $P(Y|X)$ 的熵为：

\[H(P) =–\sum_{x,y}P(y,x)logP(y|x)= –\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x)\]

首先满足约束条件然后使得该熵最大即可，MaxEnt 模型 $P^*$ 为：

\[ P^* = arg\max_{P \in C} H(P) \ \  或 \ \   P^* = arg\min_{P \in C} -H(P) \]

综上给出形式化的最大熵模型：

给定数据集 $\left \{ (x_i,y_i)\right\}_{i=1}^N$，特征函数 $f_i(x,y)，i= 1,2…,n$ ，根据经验分布得到满足约束集的模型集合 $C$ ：

\begin{aligned}
& \min_{P \in C} \ \  \sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x) \\
& \ s.t. \ \ \ E_p(f_i) =  E _{\widetilde{P}}(f_i) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_yP(y|x) = 1
\end{aligned}

MaxEnt 模型的求解

MaxEnt 模型最后被形式化为带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将其转为无约束优化的问题，引入拉格朗日乘子：

$w_0,w_1,…,w_n$， 定义朗格朗日函数 $L(P,w)$:

\begin{aligned}
L(P,w) 
&= -H(P) + w_0\left (1-\sum_yP(y|x) \right ) + \sum^n_{i=1}w_i(E _{\widetilde{P}}(f_i) - E_p(f_i))\\
&=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x) + w_0\left (1-\sum_yP(y|x) \right ) + \sum^n_{i=1}w_i\left (\sum_{x,y}\widetilde{P}(x ,y)f(x,y) -\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)p(y|x)f(x,y) \right )
\end{aligned}

现在问题转化为: $\min_{P \in C}L(P,w)$ ，拉格朗日函数 $L(P,w)$ 的约束是要满足的 ，如果不满足约束的话，只需另 $w_i \rightarrow +\infty$ ，则可得 $L(P,w) \rightarrow +\infty$ ，因为需要得到极小值，所以约束必须要满足，满足约束后可得： $L(P,w) = \max L(P,w)$ ，现在问题可以形式化为便于拉格朗日对偶处理的极小极大的问题：

\[\min_{P \in C} \max_w L(P,w)\]

由于 $L(P,w)$ 是关于 P 的凸函数，根据拉格朗日对偶可得 $L(P,w)$ 的极小极大问题与极大极小问题是等价的：

\[\min_{P \in C} \max_w L(P,w) =  \max_w  \min_{P \in C} L(P,w) \]

现在可以先求内部的极小问题 $\min_{P \in C} L(P,w)$ ，$\min_{P \in C} L(P,w)$ 得到的解为关于 $w$ 的函数，可以记做 $\Psi(w)$ ：

\[\Psi(w) =  \min_{P \in C} L(P,w) = L(P_w,w)\]

上式的解 $P_w$ 可以记做：

\[P_w = arg \min_{P \in C}L(P,w) = P_w(y|x)\]

由于求解 $P$ 的最小值 $P_w$ ,只需对于 $P(y|x)$ 求导即可,令导数等于 0 即可得到 $P_w(y|x)$ ：

\begin{aligned}
\frac{\partial L(P,w) }{\partial P(y|x)} &= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)(logP(y|x)+1)-\sum_yw_0-\sum_{x,y}\left ( \widetilde{P}(x)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y) \right ) \\
&= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)\left ( logP(y|x)+1-w_0-\sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right ) = 0 \\
\Rightarrow  \\
P(y|x) &= exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) +w_0-1 \right ) = \frac{exp\left(\sum_{i=1}^n w_if_i(x,y)  \right )}{exp(1-w_0)}
\end{aligned}

由于 $\sum_yP(y|x) = 1$，可得:

\[\sum_yP(y|x) = 1 \Rightarrow \frac {1} {exp(1-w_0)} \sum _y  exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right ) = 1\]

进而可以得到：

\[ exp(1-w_0) =  \sum _y  exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right ) \]

这里  $exp(1-w_0)$ 起到了归一化的作用，令 $Z_w(x)$ 表示 $exp(1-w_0)$ ，便得到了 MaxEnt 模型 ：

\begin{aligned}
P_w(y|x) &= \frac{1}{Z_w(x) }exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right ) \\
Z_w(x) &=\sum _y  exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right )
\end{aligned}

这里 $f_i(x,y)$ 代表特征函数，$w_i$ 代表特征函数的权值， $P_w(y|x)$  即为 MaxEnt 模型，现在内部的极小化求解得到关于 $w$ 的函数，现在求其对偶问题的外部极大化即可，将最优解记做 $w^*$:

\[w^* = arg \max_w \Psi(w)\]

所以现在最大上模型转为求解 $\Psi(w)$ 的极大化问题，求解最优的 $w^*$ 后， 便得到了所要求的MaxEnt 模型，将 $P_w(y|x)$ 带入 $\Psi(w)$ ，可得：

\begin{aligned}
\Psi(w) &=\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P_w(y|x)logP_w(y|x) + \sum^n_{i=1}w_i\left (\sum_{x,y}\widetilde{P}(x ,y)f(x,y) -\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P_w(y|x)f(x,y) \right )\\
&= \sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P_w(y|x)\left (logP_w(y|x) - \sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  \right) \\
&=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P_w(y|x)logZ_w(x)\\
&=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_x\widetilde{P}(x)logZ_w(x)\sum_yP_w(y|x)\\
&=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_x\widetilde{P}(x)logZ_w(x)\\
\end{aligned}

以上推倒第二行到第三行用到以下结论：

\[P_w(y|x) = \frac{1}{Z_w(x) }exp \left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) \right )  \Rightarrow  logP_w(y|x) =\sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) - logZ_w(x)\]

倒数第二行到最后一行是由于：$\sum_yP_w(y|x) = 1$，最终通过一系列极其复杂的运算，得到了需要极大化的式子：

\[\max_{p \in C} \sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)  +\sum_x\widetilde{P}(x)logZ_w(x)\]

极大化似然估计解法

这太难了，有没有简单又 work 的方式呢？ 答案是有的，就是极大似然估计 MLE 了，这里有训练数据得到经验分布 $\widetilde{P}(x,y)$ ， 待求解的概率模型 $P(Y|X)$ 的似然函数为：

\[L_{\widetilde{P}}(P_w) = log\prod_{x,y}P(y|x)^{\widetilde{P}(x,y)} = \sum_{x,y}\widetilde{P}(x,y)logP(y|x) \]

将 $P_w(y|x)$ 带入以下公式可以得到：

\begin{aligned}
L_{\widetilde{P}}(P_w) &=  \sum_{x,y}\widetilde{P}(x,y)logP(y|x)\\
&= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x,y)\left ( \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) -logZ_w(x)\right )\\
&= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) - \sum_{x,y}\widetilde{P}(x,y)logZ_w(x)\\
&= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) - \sum_{x}\widetilde{P}(x)logZ_w(x)\\
\end{aligned}

显而易见，拉格朗日对偶得到的结果与极大似然得到的结果时等价的，现在只需极大化似然函数即可，顺带优化目标中可以加入正则项，这是一个凸优化问题，一般的梯度法、牛顿法都可解之，专门的算法有GIS IIS 算法，。

这里给出来做下参考吧！ ==

参考文献：

《统计学习方法》

http://blog.csdn.net/itplus/article/details/26550201

http://www.cnblogs.com/hexinuaa/p/3353479.html

A Maximum Entropy Approach A Maximum Entropy Approach

Classical Probabilistic Models and Conditional Random Fields