本章内容主要是介绍：单变量线性回归算法（Linear regression with one variable）
1. 线性回归算法（linear regression）
1.1 预测房屋价格
下图是俄勒冈州波特兰市的住房价格和面积大小的关系：
该问题属于监督学习中的回归问题，让我们来复习一下：
- 监督学习（Supervised'Learning'）:对示例数据给出“正确答案”。
- 回归问题（Regression 'Problem'）:根据之前的数据预测出一个准确的输出值 。
1.2 训练集
- m=训练样本数量
- x's=输入变量/特征量
- y's=输出变量/目标变量，预测结果
（x,y）表示一个训练样本。
x(1) 指的是 第一个训练集里值为2104的输入值， 这个就是第一行里的x x(2) 等于1416。这是第二个x y(1) 等于460，这是第一个训练集样本的y值， 这就是(1)所代表的含义。
这就是一个监督学习算法的工作方式，我们可以看到这里有我们的训练集里房屋价格，我们把它喂给我们的学习算法，然后输出一个函数。
按照惯例，通常表示为小写h代表hypothesis(假设) h表示一个函数。输入是房屋尺寸大小，就像你朋友想出售的房屋。因此，h 根据输入的 x 值来得出 y 值。 y值对应房子的价格。所以h是一个从x到y的函数映射 。
- y关于x的线性函数 ：
hθ(x)=θ0+θ1*x 这个模型被称为线性回归(linear regression)模型。 这实际上是关于单个变量的线性回归，这个变量就是x 根据x来预测所有的价格函数。同时， 对于这种模型有另外一个名称，称作单变量线性回归 单变量是对一个变量的一种特别的表述方式。总而言之 这就是线性回归。
2. 代价函数(Cost Function)
任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ)，如果有多个样本，则可以将所有代价函数的取值求均值，记做J(θ)。
J(θ0,θ1)=12m$\sum$i=1m(y^i−yi)2=12m∑i=1m(hθ(xi)−yi)2
m：训练样本的个数；
hθ(x)：用参数θ和x预测出来的y值；
y：原训练样本中的y值，也就是标准答案
上角标(i)：第i个样本
3. 代价函数1(简化版):当θ0=0时
hθ(x)=θ1x，如下图：
重要公式
- Hypothesis: 假设。这个例子中是尺寸对于房价关系的预测。
- Parameters: 参数。
- Cost Function：代价函数。
- Goal: 优化目标。代价最小化。
3.1 斜率为1时的代价函数
（1）假设函数
x轴为面积，y轴为房价
假设函数 h(x) 对于一个固定的θ1，这是一个关于x 的函数。 所以这个假设函数就是一个关于 x 这个房子大小的函数。
（2）代价函数
x轴为假设函数的斜率，y即代价大小
代价函数 J 是一个关于参数 θ1 的函数，而 θ1 控制着这条直线的斜率 。
3.2 斜率为0.5时的代价函数
斜率为0.5时，取3个样本（m=3）：（0.5，1），（1，2），（1.5，3）。套公式得出J(0.5)=0.58
同理，J(0)=1/6(1²+2²+3²)=14/6，求出更多的点之后，我们得出类似以下函数：
学习算法的优化目标是我们想找到一个 θ1 的值，来将 J(θ1) 最小化。这是我们线性回归的目标函数。 上面的曲线中，让 J(θ1) 最小化的值是 θ1=1。这个确实就对应着最佳的通过了数据点的拟合直线 。这条直线就是由 θ1=1 的设定而得到的。 对于这个特定的训练样本，我们最后能够完美地拟合 这就是为什么最小化 J(θ1)，对应着寻找一个最佳拟合直线的目标。
4. 代价函数2:完整版
包含θ0、θ1两个参数的代价函数呈现出来的是类似下图的三维曲面图，两个轴分别表示θ0、θ1。
在ML中，一般使用轮廓图( contour plot 或 contour figure 的意思)描述该模型。
4.1 轮廓图简介
右侧图形就是一个轮廓图，两个轴分别表示θ0和θ1。 而这些一圈一圈的椭圆形，每一个圈就表示J(θ0,θ1) 相同的所有点的集合。
如图选取三个点，这三个点都表示相同的 J(θ0,θ1) 的值。横纵坐标分别是θ0, θ1 这三个点的 J(θ0,θ1) 值是相同的。我们需要算的代价函数即为圆心的点，此时我们的代价最小。
4.2 第一组数据
我们选取一组数据，θ0=800，θ1=-0.15，此时我们可以对应得到一个左边这样一条线。
以这组 θ0，θ1 为参数的这个假设 h(x) 并不是数据的较好拟合。并且你也发现了这个代价值 距离最小值点还很远。也就是说这个代价值还是算比较大的，因此不能很好拟合数据。
4.3 第二组数据
θ0=360，θ1=0。我们可以得到h(x)=360+0*x这样一条直线。同样不能很好的拟合数据。
4.4 第三组数据
最后一个例子：
这个点其实不是最小值，但已经非常靠近最小值点了。 这个点对数据的拟合就很不错，它对应这样两个θ0 和 θ1 的值。同时也对应这样一个 h(x) 这个点虽然不在最小值点，但非常接近了。 因此误差平方和，或者说 训练样本和假设的距离的平方和，这个距离值的平方和 非常接近于最小值，尽管它还不是最小值。
5. 小结
通过这些图形，本篇文章主要是帮助理解这些代价函数 J 所表达的值；它们是什么样的它们对应的假设是什么样的；以及什么样的假设对应的点更接近于代价函数J的最小值。
我们真正需要的是一种有效的算法，能够自动地找出这些使代价函数J取最小值的参数θ0和θ1来。我们也不希望编个程序 把这些点画出来，然后人工的方法来读出这些点的数值，这很明显不是一个好办法。
事实上在深入机器学习的过程中， 我们会遇到更复杂、更高维度、更多参数的情况。而这些情况是很难画出图的，因此更无法将其可视化，因此我们真正需要的，是编写程序来找出这些最小化代价函数的θ0和θ1的值。在后续文章中将介绍一种算法 能够自动地找出能使代价函数 J最小化的参数θ0和θ1的值。
本文资料部分来源于吴恩达 (Andrew Ng) 博士的斯坦福大学机器学习公开课视频教程。
[1]网易云课堂机器学习课程：
http://open.163.com/special/opencourse/machinelearning.html
[2]coursera课程：
https://www.coursera.org/learn/machine-learning/