【BZOJ5020】【THUWC2017】在美妙的数学王国中畅游（Link-Cut Tree，组合数学）
题解
Description
数字和数学规律主宰着这个世界。
机器的运转，
生命的消长，
宇宙的进程，
这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。
这印证了一句古老的名言：
“学好数理化，走遍天下都不怕。”
学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。
数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市，编号从 0 到 n−1 ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ，则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式：
正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]
数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。
数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v（即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u和 v ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。
Input
第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。
表示数学王国*有 n 座城市，发生了 m 个事件，该数据的类型为 type 。
typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。
其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。
接下来 n 行，第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。
一个魔法用一个整数 f表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数，若
f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])
接下来 m行，每行描述一个事件，事件分为四类。
appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ，保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。
disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。
magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数
travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v
（即经过 u到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。
若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。
1≤n≤100000,1≤m≤200000
Output
对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。
Sample Input
3 7 C1
1 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5
Sample Output
9.45520207e-001
1.67942554e+000
1.20000000e+000
题解
我拿到的题目底下还提供了一个泰勒展开的公式。。。
\]
其中\(f^{(i)}\)表示\(i\)阶导
因为\(i!\)增长得很快，大概取\(k=12\)就可以满足精度的要求
现在方法就很明朗了
首先，对于动态的维护边，很显然用Link-Cut Tree
所求是$$\sum_{i∈<u,v>}F(IQ)$$
相当于\(IQ\)是一个定值
那么，也就是说，上面的泰勒展开的公式中
每一项的\(\frac{(x-x0)^i}{i!}\)是可以直接提取出来的
所以，LCT直接维护每一个子树上的0阶导一直到15阶导之和
而\(x0\)的取可以取得比较随意一点（建议取0.5）
这样的话就可以解决这道题目了
其中LCT的复杂度\(O(nlogn)\)
而每次维护15个导，相当于增加了一个巨大的常数而已
每个点5s，BZOJ上总计80s，还是戳戳有余的
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
const double E=pow(2,1/log(2));
#define MAX 120000
char type[10];
int F[MAX];
double a[MAX],b[MAX];
int n,m;
double Extra(int k,double x)
{
if(F[k]==1)return sin((a[k]*x+b[k]));
if(F[k]==2)return pow(E,a[k]*x+b[k]);
if(F[k]==3)return a[k]*x+b[k];
}
struct Node
{
int ch[2],ff;
int rev;
double s[15];
}t[MAX<<1];
int S[MAX],top;
bool isroot(int x){return t[t[x].ff].ch[0]!=x&&t[t[x].ff].ch[1]!=x;}
void pushup(int x)
{
if(F[x]==2)
{
t[x].s[0]=pow(E,0.5*a[x]+b[x]);
for(int i=1;i<15;++i)t[x].s[i]=t[x].s[i-1]*a[x];
}
else if(F[x]==1)
{
t[x].s[0]=sin(a[x]*0.5+b[x]);
t[x].s[1]=cos(a[x]*0.5+b[x])*a[x];
for(int i=2;i<15;++i)t[x].s[i]=t[x].s[i-2]*(-a[x]*a[x]);
}
else if(F[x]==3)
{
t[x].s[0]=0.5*a[x]+b[x];
t[x].s[1]=a[x];
for(int i=2;i<15;++i)t[x].s[i]=0;
}
for(int i=0;i<15;++i)t[x].s[i]+=t[t[x].ch[0]].s[i]+t[t[x].ch[1]].s[i];
}
void rotate(int x)
{
int y=t[x].ff,z=t[y].ff;
int k=t[y].ch[1]==x;
if(!isroot(y))t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;t[x].ff=z;
t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];t[t[x].ch[k^1]].ff=y;
t[x].ch[k^1]=y;t[y].ff=x;
pushup(y);pushup(x);
}
void pushdown(int x)
{
if(!t[x].rev)return;
swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);
t[t[x].ch[0]].rev^=1;
t[t[x].ch[1]].rev^=1;
t[x].rev^=1;
}
void Splay(int x)
{
S[top=1]=x;
for(int i=x;!isroot(i);i=t[i].ff)S[++top]=t[i].ff;
while(top)pushdown(S[top--]);
while(!isroot(x))
{
int y=t[x].ff,z=t[y].ff;
if(!isroot(y))
(t[y].ch[1]==x)^(t[z].ch[1]==y)?rotate(x):rotate(y);
rotate(x);
}
}
void access(int x){for(int y=0;x;y=x,x=t[x].ff)Splay(x),t[x].ch[1]=y,pushup(x);}
void makeroot(int x){access(x);Splay(x);t[x].rev^=1;}
void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);Splay(y);}
void cut(int x,int y){split(x,y);t[y].ch[0]=t[x].ff=0;pushup(y);}
void link(int x,int y){makeroot(x);t[x].ff=y;}
int findroot(int x){access(x);Splay(x);while(t[x].ch[0])x=t[x].ch[0];return x;}
int tot;
double ans;
double T;
int main()
{
freopen("math.in","r",stdin);
freopen("math.out","w",stdout);
scanf("%d%d%s",&n,&m,type);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d%lf%lf",&F[i],&a[i],&b[i]);
char ch[20];
int u,v;
while(m--)
{
scanf("%s",ch);
if(ch[0]=='a')
{
scanf("%d%d",&u,&v);u++;v++;
link(u,v);
}
else if(ch[0]=='d')
{
scanf("%d%d",&u,&v);u++;v++;
cut(u,v);
}
else if(ch[0]=='m')
{
scanf("%d",&u);u++;
makeroot(u);
scanf("%d%lf%lf",&F[u],&a[u],&b[u]);
pushup(u);
}
else
{
scanf("%d%d%lf",&u,&v,&T);u++;v++;
if(findroot(u)!=findroot(v))puts("unreachable");
else
{
ans=0;
split(u,v);
double p1=1,p2=1;
for(int i=0;i<15;++i)ans+=t[v].s[i]*p2/p1,p1*=(i+1),p2*=(T-0.5);
printf("%.8e\n",ans);
}
}
}
return 0;
}