Jordan标准型的由来?为何n阶数字方阵都必有对应的Jordan标准型?怎么求可逆矩阵P?

设A为复数域上的n阶方阵,即A∈Cn×n,A为:
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A的特征矩阵λⅠ-A为:
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设矩阵λⅠ-A的smith标准型为:
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其中d1(λ)、d2(λ)、…、dn(λ)为λⅠ-A的不变因子,则λⅠ-A≌D,D为λⅠ-A的smith标准型。对于矩阵D,有∂(d1(λ))+∂(d2(λ))+…+∂(dn(λ))=n。假设λⅠ-A的smith标准型,即矩阵D的形式为:
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矩阵D=矩阵S,对于n阶方阵S,左上角为n-p阶单位矩阵,hi(λ)的次数ni均大于0,即∂(hi(λ))=ni>0,其中i=1,2,…,p,∂(h1(λ))+∂(h2(λ))+…+∂(hp(λ))=n1+n2+…+np=n。

矩阵S的左上角有n-p个1,有下式:
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矩阵S通过初等变换可变为:
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T为n阶方阵,S≌T,其中Ti为:
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Ti为ni阶方阵,还是写一遍完整的矩阵T吧,如下:
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上图中的①省略了Ti,其中i=3,4,…,p-1。对于每一个Ti中的hi(λ)进行质因式分解得:
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上式的λi互不相同,其中i=1,2,…,k,r1+r2+…+rk=ni。对于ni阶方阵Ti
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设hi(λ)=(λ-λ1)r1·(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk=(λ-λ1)r1·g(λ),即g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk,有(λ-λ1)r1和g(λ)互质。

对于ni阶方阵Ti,行列式因子为:

(1)Dk(λ)=1,其中k=1,2,…,ni-1;

(2)Dni(λ)=hi(λ)。

设ni阶方阵Bi为:
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有Bi≌Ti,因为Bi的行列式因子为:

(1)Dk(λ)=1,其中k=1,2,…,ni-2;

(2)Dni(λ)=hi(λ);

(3)对于ni-1阶行列式因子,有:ni-1阶子式中不为0的有g(λ)、(λ-λ1)r1、hi(λ),其中hi(λ)有ni-2个,这三个多项式中前两个互质,因此最大公因式为1,即Dni-1(λ)=1。

Bi与Ti的各k阶行列式因子相同,其中k=1,2,…,ni,因此Bi≌Ti

对于g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk,分解为g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk=(λ-λ2)r2·g1(λ),其中g1(λ)=(λ-λ3)r3·…·(λ-λk)rk,对于矩阵:
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可证Ti与上述矩阵等价,一直分解g1(λ)下去,最后得到矩阵:
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可证Ti与上述矩阵等价。因此:
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记上图右面的矩阵为J(λ),其表达式的左上方的第一块矩阵已给出,右下角即①部分省略了很多分块矩阵,其形式与左上角相同,有T≌J(λ)。

现在先总结一下以上内容得到的矩阵关系:λⅠ-A≌D,矩阵D=矩阵S,S≌T,T≌J(λ),因此根据矩阵等价的传递性, 有:

λⅠ-A≌J(λ)

可根据矩阵J(λ)的数据对其进行分块:
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其中i=1,2,…,q,Ji(λ)∈Cri×ri[λ],ri阶方阵Ji(λ)为:
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上式中(λ-λi)ri是λⅠ-A的初等因子,i=1,2,…,q,其中可能有重复项。接下来要做的是寻找一个n阶方阵J,使得λⅠ-J=J(λ),其中J为:
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对于矩阵Ji,有λⅠ-Ji≌Ji(λ),其中ri阶方阵Ji(λ)为:
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对于ri阶方阵Ji(λ),其行列式因子为:

(1)Dk(λ)=1,其中k=1,2,…,ri-1;

(2)Dri(λ)=(λ-λi)ri

于是要求矩阵λⅠ-Ji有与上面相同的行列式因子。当λⅠ-Ji的主对角线元素均为λ-λi时,可以保证ri阶行列式因子为(λ-λi)ri。然后就是需要使1阶、2阶、…、ri-1阶行列式均为1了。当主对角线上方的次对角线均为1时,可以时1阶、2阶、…、ri-1阶行列式均为1。于是有:
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因此Ji为:
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但是主对角线上方的次对角线均为-1不好看,可以令Ji为:
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Ji的行列式因子也为:

(1)Dk(λ)=1,其中k=1,2,…,ri-1;

(2)Dri(λ)=(λ-λi)ri

此时λⅠ-Ji为:
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即主对角线上方的次对角线均为-1。称Ji为Jordan块:
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J为:
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称J为Jordan标准型。

下面到了总结的时候了。

A为复数域上的n阶方阵,即A∈Cn×n,其特征矩阵λⅠ-A≌J(λ);对于n阶方阵J,其特征矩阵λⅠ-J=J(λ)。因此:λⅠ-A≌λⅠ-J,因此A~J,即二者相似。那么一定存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=J。

下面就求n阶方阵P。

由P-1AP=J得AP=PJ,其中J为:
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其中ri阶方阵Ji为:
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将n阶可逆方阵P分块为P=[P1,P2,…,Pq],其中n×ri阶矩阵Pi=[pi1,pi2,…,piri],i=1,2,…,q,有:AP=A·[P1,P2,…,Pq]=[P1,P2,…,Pq]·diag(J1,J2,…,Jq)=PJ,则APi=PiJi,i=1,2,…,q,即APi=A·[pi1,pi2,…,piri]=[pi1,pi2,…,piri]·Ji=PiJi,即:
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根据矩阵的乘法,可得:

(1)Api1i·pi1

(2)Api2=pi1i·pi2

(3)Api3=pi2i·pi3

(4)…

(5)Apiri=piri-1i·piri

其中i=2,…,q,所以有:

(1)(A-λiⅠ)pi1=0;

(2)(A-λiⅠ)pi2=pi1

(3)(A-λiⅠ)pi3=pi2

(4)…

(5)(A-λiⅠ)piri=piri-1

其中i=2,…,q。于是P是这样求解的:

1、对矩阵A求其特征矩阵λⅠ-A的不变因子,有两种方法:① 通过求各阶行列式因子,然后得到不变因子;② 对λⅠ-A做初等变换求出其标准型,则对角线上的元素即为不变因子;

2、根据求出的初等因子得出λⅠ-A的初等因子,假设(λ-λi)ri是λⅠ-A的初等因子,其中i=1,2,…,q,其中可能有重复项;

3、每一个(λ-λi)ri对应一个若当块Ji,其中i=1,2,…,q,ri阶方阵Ji为:
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4、矩阵A的若当标准型J为:
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5、一定存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=J。将n阶可逆方阵P分块为P=[P1,P2,…,Pq],其中n×ri阶矩阵Pi=[pi1,pi2,…,piri],i=1,2,…,q,对于每一个Ji,这样求Pi

(1)(A-λiⅠ)pi1=0;

(2)(A-λiⅠ)pi2=pi1

(3)(A-λiⅠ)pi3=pi2

(4)…

(5)(A-λiⅠ)piri=piri-1

在第5步求解过程中,pi1的选取要保证pi2可以求出,类似地pi2的选取(因为pi2的选定并不唯一,只要适当选取一个即可)也要保证pi3可以求出,如此等等。

(6)最后P=[P1,P2,…,Pq]。

求解结束,现在得到的n阶可逆矩阵P,可使得P-1AP=J,其中J为n阶方阵A的Jordan标准型。

任何一个n阶矩阵都对应一个Jordan标准型,Jordan标准型的应用之一就是求矩阵A的方幂,如Ak

因为P-1AP=J,所以A=PJP-1有Ak=PJkP-1,其中Jk为:
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ri阶方阵Ji为:
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则Jik为:
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