647. 回文子串

题目描述

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入："abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入："aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：

输入的字符串长度不会超过 1000 。

思路一：暴力循环

暴力三循环，一共有 n(n+1)/2个子串，分别判断每个子串是否是回文串

 1 class Solution {
 2     public int countSubstrings(String s) {
 3         // 暴力三循环，一共有 n(n+1)/2个子串，分别判断每个子串是否是回文串
 4         if(s == null || s.length() == 0){
 5             return 0;
 6         }
 7         int count = 0;
 8         for(int i = 0; i < s.length(); i++){
 9             for(int j = i; j < s.length(); j++){
10                 boolean flag = true;
11                 for(int k = 0; k < (j - i + 1)/2; k++){
12                     if(s.charAt(k+i) != s.charAt(j-k)){
13                         flag = false;
14                         break;
15                     }
16                 }
17                 if(flag == true){
18                     count++;
19                 }
20             }
21         }
22         return count;
23     }
24 }

leetcode 执行用时：620 ms > 6.67%, 内存消耗：37 MB > 59.58%

复杂度分析：

时间复杂度：很明显三个for循环，所以时间复杂度为O(n³)

空间复杂度：O(1)

思路二：动态规划

参考：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/shou-hua-tu-jie-dong-tai-gui-hua-si-lu-by-hyj8/

动态规划，二维数组，dp[i][j]是个布尔值，表示[i, j]之间的子串是否是回文串 区间只有一个字符肯定是回文串 区间只有两个字符，且两个字符相等，那也是回文串 如果[i,j]两个端点的字符相等且内部子串dp[i+1][j-1]也是回文串，那整个区间都是回文串 其实上面三种情况可以归纳为，如果区间两端字符相等，且区间长度小于等于2或者大于2但是内部是回文串，那么整个区间都是回文串，借用上面参考文章作者的一张图   因为转态转移方程中求dp[i][j]时用到了dp[i+1][j-1], 所以我们的外层循环应该循环j, 当前 j 把内层循环的的所有 i 都迭代一遍，这样dp[i][j]使用dp[i+1][j-1]就没有问题了

 1 class Solution {
 2     public int countSubstrings(String s) {
 3 
 4         if(s == null){
 5             return 0;
 6         }
 7         int count = 0;
 8         int len = s.length();
 9         boolean[][] dp = new boolean[len][len];
10         // 因为转态转移方程中求dp[i][j]时用到了dp[i+1][j], 所以我们的外层循环应该循环j
11         for(int j = 0; j < len; j++){
12             for(int i = 0; i <= j; i++){
13                 // 如果区间两端字符相等，且区间长度小于等于2或者大于2但是内部是回文串，那么整个区间都是回文串
14                 if(s.charAt(i) == s.charAt(j) && ((j-i) < 2 || dp[i+1][j-1])){
15                     count++;
16                     dp[i][j] = true;
17                 }
18             }
19         }
20         return count;
21     }
22 }

leetcode 执行用时：12 ms > 41.28%的用户, 内存消耗：39 MB > 29.20%

复杂度分析：

时间复杂度：两个循环，遍历了 len * len /2个元素，所以时间复杂度为O(n²) 空间复杂度：需要一个n* n的矩阵，所以空间复杂度为O(n²)

空间优化

其实这个空间复杂度还可以再降低一些，那就是借助一维矩阵而非二维矩阵，因为dp[i][j]只与 dp[i+1][j-1]有关，也就是只与前一列有关，所以我们用一个一维矩阵，只存储原来二维矩阵中一列的值，dp[i] 就只与dp[i+1]有关，因为上一个dp[i+1]肯定是比当前列小一的，所以默认就是dp[i+1][j-1]， 很巧妙。我见过还有一题也用到了这样的一个技巧，就是求一个从矩阵左上角到右下角路径最大和。

 1 class Solution {
 2     public int countSubstrings(String s) {
 3 
 4         if(s == null){
 5             return 0;
 6         }
 7         int count = 0;
 8         int len = s.length();
 9         boolean[] dp = new boolean[len];
10         // 因为转态转移方程中求dp[i][j]时用到了dp[i+1][j], 所以我们不按行遍历，而是按列遍历
11         for(int j = 0; j < len; j++){
12             for(int i = 0; i <= j; i++){
13                 // 如果区间两端字符相等，且区间长度小于等于2或者大于2但是内部是回文串，那么整个区间都是回文串
14                 if(s.charAt(i) == s.charAt(j) && ((j-i) < 2 || dp[i+1])){
15                     count++;
16                     dp[i] = true;
17                 }else{
18                     // 因为这个dp[i]其实是原来的dp[i][j]，所以这里必须置为false, 
19                     // 如果没有置为false, 可能会沿用上一轮的值，导致真实值不正确
20                     dp[i] = false;  
21                 }
22             }
23         }
24         return count;
25     }
26 }

 leetcode 执行时间为：11 ms > 42.49%, 内存消耗：36.6 MB > 97.37%, 可以看到这个内存效率高了不少

复杂度分析：

时间复杂度：两个循环，遍历了 len * len /2个元素，所以时间复杂度为O(n²) 空间复杂度：只需要一个长度为 n的矩阵，所以空间复杂度为O(n)

思路三：中心扩展法

参考：https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/liang-dao-hui-wen-zi-chuan-de-jie-fa-xiang-jie-zho/

选定中心点后，同时判断左右字符是否相等，如果相等，则构成了回文子串，再继续向左右扩张，判断是否能形成更长的回文子串。

首先每个字符都可以是中心点，其次所有相邻的两个字符也可以中心点，比如abba, 如果以单个字符中心点，那么abba这最长的回文子串就永远统计不到，但是如果以 bb 为中心点，则能统计到这个回文子串。

至于为什么三个相邻的字符，四个相邻的字符不是中心点，因为三个相邻的字符可以是单个中心点扩展一次得到，四个相邻的字符可以是两个相邻的字符扩展一次得到。所以中心点的个数为 2n-1, n 字符串长度。

 1 class Solution {
 2     public int countSubstrings(String s) {
 3 
 4         if(s == null){
 5             return 0;
 6         }
 7         int count = 0;
 8         int len = s.length();
 9         for(int center = 0; center < 2 * len -1; center++){
10             int left = center / 2;    // 如果center是奇数，则left和right则是两个相邻的字符
11             int right = center / 2 + center % 2;    // 如果center是偶数，则left和right是同个字符
12             while(left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)){
13                 count++;
14                 left--;
15                 right++;    // 向左右扩张一次
16             }
17         }
18         return count;
19     }
20 }

leetcode 执行用时：6 ms > 51.97%, 内存消耗：37.1 MB > 55.85%, 可以看到这个执行时间是动态规划的一半

复杂度分析：

时间复杂度：只有一个for循环，所以时间复杂度为O(n)

空间复杂度：O(1)