常用的数学知识集锦

• 一、前言
• 二、矩阵指数函数及泰勒级数
• 三、一阶线性微分方程的解法
• 四、斜对称矩阵的定义及性质
• 五、向量的叉乘
• 1.向量积的模长
• 2.向量积的方向
• 3.向量积的物理意义
• 4.向量积与斜对称矩阵

介绍部分常用的基础数学知识(持续更新…)。

一、前言

泰勒级数、矩阵指数函数、向量的斜对称矩阵、向量叉乘是在机器人控制中常用的基本数学知识，本文对这些知识做一个汇总，为将来的机器人研究做铺垫。为了能正常浏览公式，推荐使用Chrome浏览器，并添加一款名为TeX All the Things的插件。在Markdown文本中编写公式的语法参见如下链接：

Markdown文本中编辑数学公式的语法规则

通过上述语法规则所编写的大部分公式可以通过浏览器正常观看，但是矩阵除外。为了能正确显示矩阵，可以通过在线LaTeX公式编辑器(链接如下)将公式转为.png(建议分辨率为120)，再插入文中。

在线LaTeX公式编辑器

二、矩阵指数函数及泰勒级数

常用的矩阵指数函数如下所示。

$e^{\pmb A t} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\pmb{A}^{k} t^k}{k!} = \pmb{I} + \pmb{A}^{t} + \frac{(\pmb{A}t)^2}{2!} + \frac{(\pmb{A}t)^3}{3!} + \cdots \tag {2-1}$eAAAt=k=0∑∞​k!AAAktk​=III+AAAt+2!(AAAt)2​+3!(AAAt)3​+⋯(2-1)

$\sin\pmb{A}{t} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \pmb{A}^{2k+1} t^{2k+1}}{(2k+1)!} \tag {2-2}$sinAAAt=k=0∑∞​(2k+1)!(−1)kAAA2k+1t2k+1​(2-2)

$\cos\pmb{A}{t} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \pmb{A}^{2k} t^{2k}}{(2k)!} \tag {2-3}$cosAAAt=k=0∑∞​(2k)!(−1)kAAA2kt2k​(2-3)

正弦、余弦函数的泰勒级数展开如式(2-4)~(2-5)所示。
$\sin x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} \tag {2-4}$sinx=k=0∑∞​(2k+1)!(−1)k​x2k+1(2-4)

$\cos x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} \tag {2-5}$cosx=k=0∑∞​(2k)!(−1)k​x2k(2-5)

三、一阶线性微分方程的解法

给出一个一阶线性微分方程:

$\dot{y}(t) = xy(t) \tag {3-1}$y˙​(t)=xy(t)(3-1)

即：

$\frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d}t} = xy(t) \tag {3-2}$dtdy(t)​=xy(t)(3-2)

将式(3-2)变形，可得：

$\frac{1}{y(t)}\mathrm{d}y(t) = x\mathrm{d}t \tag {3-3}$y(t)1​dy(t)=xdt(3-3)

对上式两边进行积分：

$\int {\frac{1}{y(t)}\mathrm{d}y(t)} = \int {x\mathrm{d}t} \tag {3-4}$∫y(t)1​dy(t)=∫xdt(3-4)

即：

$\ln y(t) = xt + C\tag {3-5}$lny(t)=xt+C(3-5)

上式中，$C$C是常数，对上式两边取指数，有：

$y(t) = e^{xt}y(0) \tag {3-6}$y(t)=exty(0)(3-6)

式(3-6)中，$y(0)$y(0)表示$y(t)$y(t)在零时刻的取值。

四、斜对称矩阵的定义及性质

定义向量 $\pmb\omega = \begin{bmatrix} \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 \end{bmatrix}^{\mathrm T}$ωωω=[ω1​​ω2​​ω3​​]T 及其斜对称矩阵(又称为反对称矩阵) $\pmb{\bf{\hat \omega }}$ω^ω^ω^ 为：

斜对称矩阵的性质如下：

$\pmb{\bf{\hat \omega }}^\mathrm{T} = -\pmb{\bf{\hat \omega }} \tag {4-2}$ω^ω^ω^T=−ω^ω^ω^(4-2)

$\pmb{A}\pmb{\bf{\hat \omega }}\pmb{A}^\mathrm{T} = (\pmb{A} \pmb{\bf{\hat \omega }}^\mathrm{T}) \tag {4-3}$AAAω^ω^ω^AAAT=(AAAω^ω^ω^T)(4-3)

$\pmb{\bf{\hat \omega }}^2 = \pmb{\bf{ \omega }}\pmb{\bf{ \omega }}^\mathrm{T} - {\lVert \pmb\omega \rVert}^2 \pmb{I} \tag{4-4}$ω^ω^ω^2=ωωωωωωT−∥ωωω∥2III(4-4)

$\pmb{\bf{\hat \omega }}^3 = -{\lVert \pmb\omega \rVert}^2 \pmb{A}\pmb{\bf{\hat \omega }} \tag{4-5}$ω^ω^ω^3=−∥ωωω∥2AAAω^ω^ω^(4-5)

五、向量的叉乘

向量的叉乘，又称为向量积。

1.向量积的模长

两个平面向量$\pmb a$aaa、$\pmb b$bbb的叉乘记为$\pmb a \times\pmb b$aaa×bbb，模长的计算方法如下：

${\lvert \pmb a \times\pmb b\rvert} = {\lvert \pmb a\rvert} \cdot {\lvert \pmb b\rvert} \cdot \sin\theta \tag{5-1}$∣aaa×bbb∣=∣aaa∣⋅∣bbb∣⋅sinθ(5-1)

2.向量积的方向

方向为：向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从 $\pmb a$aaa 以不超过180度的转角转向 $\pmb b$bbb 时，竖起的大拇指指向是叉乘的方向。）

在上图中，$\pmb a \times\pmb b$aaa×bbb 的方向是垂直指向屏幕外侧。

3.向量积的物理意义

物理意义：向量的叉乘常用来表示平行四边形的面积。从上图可以看出：$\pmb a \times\pmb b$aaa×bbb 表示的是平行四边形面积，$\pmb a \times\pmb c$aaa×ccc 表示的是矩形面积，显然有：
$\pmb a \times\pmb b = \pmb a \times\pmb c \tag{5-2}$aaa×bbb=aaa×ccc(5-2)

这意味着，$\pmb a$aaa 与任意以 $\pmb a$aaa 所在直线上一点为起点、以 $\pmb b$bbb 的终点为终点的向量进行叉乘，得到的结果都是一样的。

4.向量积与斜对称矩阵

将二维平面内的向量拓展到三维空间，若$\pmb a = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix}^{\mathrm T}$aaa=[a1​​a2​​a3​​]T与$\pmb b = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}^{\mathrm T}$bbb=[b1​​b2​​b3​​]T进行叉乘，则有如下结果：

上式建立起了向量叉乘与向量斜对称矩阵之间的联系。