3.5　毕达哥拉斯学派的构想

对于毕达哥拉斯学派的人来说，数学并不像今天这样，是对抽象符号所做的运算，而是一种关于数字和空间的科学。在可以感知的现实世界中，数字和空间正是两个最为基本的方面。毕氏学派除了关注正方形数、长方形数及三角形数等有形数（figurate number）之外，他们还认为，空间有着离散的结构（discrete structure），于是他们试图提供一套以数字为基础的理论，使得几何学可以建立在该理论之上。这种想法实际上就相当于要创建一套基于正整数的统一数学理论。
为此，他们提出一个概念，说一条线段可以用另一条线段来“度量”（be measured）：
定义3.1　当且仅当线段A可以通过有限个连续的线段V来表示时，线段V才能用作线段A的量度。
这个量度必须选取得足够小，使我们可以通过整数次的拼接来产生所需的线段，没有“分数”（fractional）量度这一说法。测量不同的线段时，当然可以分别使用不同的量度，但如果想用同一种量度来测量两条线段，那么该量度必须是二者的公度：
定义3.2　当且仅当线段V可以同时成为线段A与线段B的量度时，它才能用作二者的公度。
毕氏学派认为，对于任何一个给定的情境来说，都能找到适用于其中所有相关物件的公度，因此，空间就可以离散地进行表示了。

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    由于公度可能有很多个，因此，他们提出最大公度量（greatest common measure）这一概念。

定义3.3　如果线段V是线段A和线段B的公度，而且比两者的其他公度都要大，那么V就是A和B的最大公度量。
毕氏学派还意识到了最大公度量（GCM）所具备的很多性质，这些性质用现代的记法可以表示为：
gcm（a, a） = a（3.7）
gcm（a, b） = gcm（a, a + b）（3.8）
b＜a gcm（a, b） = gcm（a-b, b）（3.9）
gcm（a, b） = gcm（b, a）（3.10）
根据这些性质，他们提出了古希腊数学中最为重要，或许也是整个数学中最为重要的算法，那就是如何计算两条线段的最大公度量。古希腊人所使用的计算器具是可以对线段进行操作的直尺和圆规。如果用C++代码来表示该算法，并把line_segment视为一种类型，那么我们可以将其写为：

上面这段代码借助了三分律（trichotomy law），也就是说，如果a与b这两个变量是同一种类型，并且该类型的所有取值都是可以比较大小的（totally ordered），那么a与b的关系只可能是a = b、a＜b或a＞b这三种情况之一。
我们以gcm(196, 42)为例来演示该算法的计算过程：
a b
196＞42, gcm（196, 42） = gcm（196-42, 42） = gcm（154, 42）
154＞42, gcm（154, 42） = gcm（154-42, 42） = gcm（112, 42）
112＞42, gcm（112, 42） = gcm（112-42, 42） = gcm（70, 42）
70＞42, gcm（70, 42） = gcm（70-42, 42） = gcm（28, 42）
28＜42, gcm（28, 42） = gcm（28, 42-28） = gcm（28, 14）
28＞14, gcm（28, 14） = gcm（28-14, 14） = gcm（14, 14）
14 = 14, gcm（14, 14） = 14
由此可见，gcm(196, 42) = 14。
我们这里所说的gcm(196, 42)，意思当然是指长度为196和长度为42的两条线段所具备的最大公度量，然而本章在举例时为了简单起见，会直接用代表线段长度的那个整数来表示该线段本身。
在接下来的几章中，我们还要使用该算法的各种版本，因此大家一定要理解这个算法，并明白它的计算原理。你可以自己用手算上几轮，以便获得更加确切的印象。