3.6 毕氏构想中的严重缺陷
古希腊数学家发现，良序原则（well-ordering principle）是一种很强大的证明技术。这条原则是说：任何自然数集中都有一个最小的元素。因此，要想证明某种东西不存在，就先假设这种东西存在，并考虑其中最小的那一个，然后推出还有别的东西比它更小，从而与良序原则形成矛盾。
依照这种逻辑，毕氏学派的人发现，他们可以证明出一条命题，而这条命题，会破坏整个毕氏学说的构想。大家接下来将要看到的这个证明是由George Chrystal在19世纪重建的。
定理3.4 没有哪一条线段能够同时用来度量正方形的边与对角线。
证明 假设有一个与该定理相矛盾的命题成立，也就是说：有这样一条单位线段可以同时用来度量正方形的边及对角线。那么，在这些其边与对角线都可以为该线段所度量的正方形中，我们选取最小的那个正方形：
用尺子和圆规，构建一条长度与AB相等的线段AF，然后以F为垂足，做一条与AC相垂直的线段EF：
接下来，再构建两条线段，一条是与AC相垂直的CG，另一条是与CG相垂直的EG：
由于我们构建了一条与CF相垂直的线段EF，因此，这两条线段所夹的∠CFE就等于90度。由于∠BCA是正方形的对角线与边之间的夹角，因此它是45度，而∠ECF又等于∠BCA，因此∠ECF也是45度。因为三角形的内角和是180度，所以在三角形CEF中：
∠CEF = 180°-∠CFE -∠ECF = 180°-90°-45°= 45°
因此∠CEF = ∠ECF，这意味着三角形CEF是个等腰三角形，于是，其相等的两个角所对应的那两条边也是相等的，这就是说，CF = EF。最后，我们再做一条线段BF：
由于我们早前在作图时确保了AB = AF，因此∠ABF = ∠AFB，这说明三角形ABF也是个等腰三角形。又因为∠ABC与∠AFE都是分别由两条互相垂直的线段所形成的角，所以这两者均为90度，于是∠ABC = ∠AFE。将这两个等式的左右两端分别相减，可以得到：
∠ABC -∠ABF = ∠AFE -∠AFB
∠EBF = ∠EFB
BE = EF
根据我们所做的假设，AC是可以为那条单位线段所度量的。此外，由于AB也可以为那条所度量，而AF的长度又等于AB，因此，AF同样可以为那条线段所度量。于是，两者的差值也就是CF = AC - AF，就可以为那条单位线段所度量。而我们刚才又证明了△CEF与△BEF都是等腰三角形，因此可以推出：
CF = EF = BE
根据我们所做的假设，BC是可以为那条单位线段所度量的。刚才我们已经证明，CF是可以为那条线段所度量的，而根据上面那个等式，BE的长度与CF相等，因此，BE也可以为那条单位线段所度量。由此可知，BC与BE的差，也就是EC = BC - BE，同样可以为那条单位线段所度量。
对于正方形CFEG来说，它的边（EF）与对角线（EC）都可以为最初所假设的那条单位线段所度量，而根据最初的假设，我们早前所选的那个正方形ABCD，已经是所有符合条件的正方形里面最小的一个了，然而现在所发现的这个正方形CFEG却比它还要小，于是这就构成了矛盾。因此，最初的那个假设不成立，也就是说：没有任何一条线段，能够同时用来度量正方形的边与对角线。如果你非要试着去寻找这么一条线段，那你永远都不会找到，也就是说，line_segment_gcm(a, b)算法永远无法结束。□
换句话说，正方形的对角线与边长之比无法表示成有理数（rational number），也就是无法表示成两个整数之比。从今天的观点来看待这个证明，我们可以认为：毕达哥拉斯学派发现了无理数，而且知道就是一个无理数。
无理数的发现，令毕氏学派难以置信，因为这破坏了他们的整套构想，令其无法将几何学建立在数字理论上面。因此，像很多机构在面对负面消息时那样，他们也命令所有成员都要保守这个秘密。据说，其中有一名成员由于泄漏此事而遭到天谴——他所乘坐船沉没了，船上的所有人都因此而丧生。
* * *毕氏的弟子们终于想出了一个解决办法：既然不能在数字这个基础上面统一数学理论，那可以改用几何为基础来进行统一。这就是尺规作图（ruler-and-compass construction）的起源，现在我们在几何课上面依然会用到这种作图方法，它是不需要使用数字的。
后来的数学家采用另外一种方式来证明的不可公度性（irrationality），那种方式用到了数论的知识。在某些版本的《几何原本》中，第10卷的第117号命题就给出了这样的证明。尽管这套证明过程的出现时间早于欧几里得，但它却是在《几何原本》初次发行之后，才添加进来的。总之，这是个相当重要的证明：
定理3.5 是无理数。
证明 假设是有理数。那么，它就可以表示成m与n这两个整数之比，并且m/n不可约分（irreducible）。于是就有：
由于n2是偶数，因此n也是偶数。既然m和n都是偶数，那么m/n就是可以继续约分的了，这与“m/n不可约分”这一条件相矛盾。因此，假设不成立，也就是说，不能表示成两个整数之比。□