:@(小怒) 今天俺们一起学图论中的图和最短路径问题。 :@(深思)
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图的定义

图论中的图（Graph）是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

数学语言表示

一个图可以用数学语言描述为G(V(G),E(G))。V(vertex)指的是图的顶点E(edge)指的是图的边集。

图的分类

根据边是否有方向，可将图分为有向图和无向图。
另外，有些图的边上还可能有权值，这样的图称为有权图。

在线作图的网站

https://csacademy.com/app/graph_editor/

Dijkstra算法

Dijkstra算法（迪杰斯特拉算法）
以下参考博客：https://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

定义概述

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

算法思想

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法步骤

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

算法示意图

引入例子

算法的局限性

不能处理负权重

Bellman‐Ford（贝尔曼‐福特）算法

事实上，贝尔曼‐福特算法不再将节点区分为是否已
访问的状态，因为贝尔曼‐福特模型是利用循环来进
行更新权重的，且每循环一次，贝尔曼福特算法都会
更新所有的节点的信息。

不支持负权回路的图

贝尔曼‐福特算法不支持含有负权回路的图。（视频中提到的Floyd(弗洛伊德)算法也不可以）
所以我们所有带负权的无向图都无法使用，只能用负权的有向图。

贝尔曼‐福特算法的相关学习链接

https://blog.csdn.net/a8082649/article/details/81812000
https://www.bilibili.com/video/av43217121