BZOJ_2017_[Usaco2009 Nov]硬币游戏_博弈论+DP

2023-10-21 10:58:04

Description

农夫约翰的奶牛喜欢玩硬币游戏，因此他发明了一种称为“Xoinc”的两人硬币游戏。初始时，一个有N(5 <= N <= 2,000)枚硬币的堆栈放在地上，从堆顶数起的第I枚硬币的币值为C_i (1 <= C_i <= 100,000)。开始玩游戏时，第一个玩家可以从堆顶拿走一枚或两枚硬币。如果第一个玩家只拿走堆顶的一枚硬币，那么第二个玩家可以拿走随后的一枚或两枚硬币。如果第一个玩家拿走两枚硬币，则第二个玩家可以拿走1，2，3，或4枚硬币。在每一轮中，当前的玩家至少拿走一枚硬币，至多拿走对手上一次所拿硬币数量的两倍。当没有硬币可拿时，游戏结束。两个玩家都希望拿到最多钱数的硬币。请问，当游戏结束时，第一个玩家最多能拿多少钱呢？

Input

第1行：1个整数N

第2..N+1行：第i+1行包含1个整数C_i

Output

第1行：1个整数表示第1个玩家能拿走的最大钱数。

Sample Input

5
1
3
1
7
2

Sample Output

HINT

样例说明：第1个玩家先取走第1枚，第2个玩家取第2枚；第1个取走第3，4两枚，第2个玩家取走最后1枚。

设f[i][j]表示还剩i枚硬币，上一个人拿了j枚硬币，到最后的最大收益。

先手后手转移相同，f[i][j]=f[i-k][k] (k<=min(2*j,i))，直接DP是$O(n^3)$的。

发现每次j增加时对k的影响只有2*j-1和2*j，再判断一下与i的关系即可。

代码：

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define N 2050

int f[N][N],n,s[N],a[N];

int main() {

    scanf("%d",&n);

    int i,j;

    for(i=1;i<=n;i++) {

        scanf("%d",&a[i]);

    }

    for(i=n;i>=1;i--) s[i]=s[i+1]+a[i];

    for(i=1;i<=n;i++) {

        for(j=1;j<=n;j++) {

            f[i][j]=f[i][j-1];

            if(2*j-1<=i) f[i][j]=max(f[i][j],s[n-i+1]-f[i-(2*j-1)][2*j-1]);

            if(2*j<=i) f[i][j]=max(f[i][j],s[n-i+1]-f[i-2*j][2*j]);

        }

    }

    printf("%d\n",f[n][1]);

}

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