Loj 2731 「JOISC 2016 Day 1」棋盘游戏
JOI 君有一个棋盘，棋盘上有 \(N\) 行 \(3\) 列 的格子。JOI 君有若干棋子，并想用它们来玩一个游戏。初始状态棋盘上至少有一个棋子，也至少有一个空位。
游戏的目标是：在还没有放棋子的格子上依次放棋子，并填满整个棋盘。在某个格子上放置棋子必须满足以下条件之一：
- 这个格子的上下一格都放有棋子；
- 这个格子的左右一格都放有棋子。
JOI 君想知道有多少种从初始状态开始，并达到游戏目标的方案，这个答案可能会非常大。请你帮 JOI 君算出这个答案，并对 \(10^9+7\) 取模。
输入格式
第一行有一个整数 \(N\) ，表示棋盘的大小为纵向 \(3\) 格，横向 \(N\) 格。
接下来的三行均为仅由 o 和 x 组成的字符串。这三行中第 \(i\) 行的第 \(j\) 个字符表示棋盘中从上到下第 \(i\) 行，从左到右第 \(j\) 个棋子的状态。其中 o 表示开始时有棋子被放置，x 表示开始时这个位置为没有放置着棋子。
输出格式
一个整数，表示符合条件的方案个数。
样例输入 1
3
oxo
xxo
oxo
样例输出 1
14
样例输入 2
10
ooxooxoxoo
xooxxxoxxx
oxoxoooooo
样例输出 2
149022720
样例输入 3
10
ooxoxxoxoo
oxxxxxoxxx
oxooxoxoxo
样例输出 3
0
样例解释 3
没有可以达到最终状态的方案。
样例输入 4
20
oxooxoxooxoxooxoxoxo
oxxxoxoxxxooxxxxxoox
oxooxoxooxooxooxoxoo
样例输出 4
228518545
\(JOI\)的\(DP\)题好恶心。
显然，\(1,3\)行的空格左右两边必须是已经放好的棋子，否则无解。也就是说\(1,3\)行的空格可以再任意时刻放棋子。
于是我们只需要对第\(2\)行中的空格进行\(DP\)就可以了。
我们设\(f_{i,j}\)表示\((2,i)\)的空格在时刻\(j\)放了一个棋子，且\((2,i-1)\)在\((2,i)\)之后放置的方案数；\(g_{i,j}\)表示\((2,i)\)的空格在时刻\(j\)放了一个棋子，且\((2,i-1)\)在\((2,i)\)之前放置的方案数。
我们的\(f_{i,j},g_{i,j}\)都是没有考虑\((1,i)\)以及\((3,i)\)的放置情况的，当我们转移\(f_{i+1,j},g_{i+1,j}\)的时候我们再考虑。因为如果\((2,i-1),(2,i+1)\)都在\((2,i)\)之前放置，则\((1,i),(3,i)\)可以任意放置，否则必须在\((2,i)\)之前放置。
转移就按\((2,i)\)和\((2,i+1)\)分\(4\)中情况讨论。
细节就不说了，讨论就行了。
转移的时候还要用前缀和优化。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pr pair<int,int>
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define N 2005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=1e9+7;
ll ksm(ll t,ll x) {
ll ans=1;
for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
if(x&1) ans=ans*t%mod;
return ans;
}
int n;
char mp[4][N];
ll fac[N*3],ifac[N*3];
ll C(int n,int m) {
if(n<m) return 0;
return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;
}
int u[N];
ll f[N][N*3],g[N][N*3];
int res,sum[N];
ll pre[N*3];
int main() {
n=Get();
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=3*n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
ifac[3*n]=ksm(fac[3*n],mod-2);
for(int i=3*n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
for(int i=1;i<=3;i++) {
scanf("%s",mp[i]+1);
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(mp[1][i]=='x'&&(mp[1][i-1]!='o'||mp[1][i+1]!='o')) {cout<<0;return 0;}
if(mp[3][i]=='x'&&(mp[3][i-1]!='o'||mp[3][i+1]!='o')) {cout<<0;return 0;}
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(mp[1][i]=='x') u[i]++;
if(mp[3][i]=='x') u[i]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+u[i]+(mp[2][i]=='x');
if(mp[2][1]=='x') f[1][1]=1;
else f[1][0]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(mp[2][i]=='x') {
if(mp[2][i-1]=='x') {
memset(pre,0,sizeof(pre));
for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) {//f,i-1由上下贡献
if(u[i-1]==2) pre[j]=(pre[j-1]+f[i-1][j]*j%mod*(j+1))%mod;
else if(u[i-1]==1) pre[j]=(pre[j-1]+f[i-1][j]*j)%mod;
else pre[j]=(pre[j-1]+f[i-1][j])%mod;
}
for(int j=sum[i-1];j>=1;j--) if(j>u[i-1]) pre[j]=pre[j-u[i-1]];
for(int j=1;j<=u[i-1];j++) pre[j]=0;
for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) (f[i][j]+=pre[sum[i-1]]-pre[j-1]+mod)%=mod;
for(int j=2;j<=sum[i-1]+1;j++) (g[i][j]+=pre[j-1])%=mod;
memset(pre,0,sizeof(pre));
for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) {//g,i-1由上下贡献
if(u[i-1]==2) pre[j]=(pre[j-1]+g[i-1][j]*j%mod*(j+1))%mod;
else if(u[i-1]==1) pre[j]=(pre[j-1]+g[i-1][j]*j)%mod;
else pre[j]=(pre[j-1]+g[i-1][j])%mod;
}
for(int j=sum[i-1];j>=1;j--) if(j>u[i-1]) pre[j]=pre[j-u[i-1]];
for(int j=1;j<=u[i-1];j++) pre[j]=0;
for(int j=2;j<=sum[i-1]+1;j++) (g[i][j]+=pre[j-1])%=mod;
memset(pre,0,sizeof(pre));
for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) {//g,i-1由左右贡献
(pre[j]+=pre[j-1])%=mod;
if(!u[i-1]) {
(pre[j]+=g[i-1][j])%=mod;
} else if(u[i-1]==1) {
(pre[j+1]+=g[i-1][j]*j)%=mod;
(pre[j]+=g[i-1][j]*(sum[i-1]-j))%=mod;
} else {
(pre[j]+=g[i-1][j]*(sum[i-1]-j-1)%mod*(sum[i-1]-j))%=mod;
(pre[j+1]+=g[i-1][j]*j%mod*(sum[i-1]-j-1)%mod*2)%=mod;
(pre[j+2]+=g[i-1][j]*j%mod*(j+1))%=mod;
}
}
for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) (f[i][j]+=pre[sum[i-1]]-pre[j-1]+mod)%=mod;
} else {
for(int j=1;j<=sum[i-1]+1;j++) {
if(u[i-1]==0) g[i][j]=f[i-1][0];
else if(u[i-1]==1) g[i][j]=f[i-1][0]*sum[i-1]%mod;
else g[i][j]=f[i-1][0]*(sum[i-1]-1)%mod*sum[i-1]%mod;
}
}
} else {
if(mp[2][i-1]=='x') {
for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) {
if(u[i-1]==0) {
(f[i][0]+=f[i-1][j]+g[i-1][j])%=mod;
} else if(u[i-1]==1) {
(f[i][0]+=f[i-1][j]*j+g[i-1][j]*(sum[i-1]))%=mod;
} else {
(f[i][0]+=f[i-1][j]*j%mod*(j+1)+g[i-1][j]*(sum[i-1])%mod*(sum[i-1]-1))%=mod;
}
}
} else {
if(u[i-1]==0) f[i][0]=f[i-1][0];
else if(u[i-1]==1) f[i][0]=f[i-1][0]*sum[i-1]%mod;
else f[i][0]=f[i-1][0]*(sum[i-1]-1)%mod*sum[i-1]%mod;
}
}
}
ll ans=0;
if(mp[2][n]=='o') {
if(!u[n]) (ans+=(f[n][0]))%=mod;
else if(u[n]==1) (ans+=f[n][0]*sum[n])%=mod;
else (ans+=f[n][0]*(sum[n]-1)%mod*sum[n])%=mod;
} else {
for(int i=1;i<=sum[n];i++) {
if(!u[n]) (ans+=(f[n][i]+g[n][i]))%=mod;
else if(u[n]==1) (ans+=f[n][i]*i+g[n][i]*sum[n])%=mod;
else (ans+=f[n][i]*i%mod*(i-1)+g[n][i]*sum[n]%mod*(sum[n]-1))%=mod;
}
}
cout<<ans;
return 0;
}