【数据结构】:时间和空间复杂度

目录

如何衡量一个代码的好坏

时间复杂度

概念

计算方法

实例计算

【实例1】

【实例2】

【实例3】

【实例4】:冒泡排序的时间复杂度

【实例5】:二分查找的时间复杂度

【实例6】:阶乘递归的时间复杂度

【实例7】:斐波那契递归的时间复杂度

空间复杂度

概念

实例计算

【实例1】:冒泡排序的空间复杂度

【实例2】:斐波那契的空间复杂度


如何衡量一个代码的好坏

  • 算法效率分析分为两种
  1. 时间效率,称为时间复杂度,主要是用来衡量算法的运行速度
  2. 空间效率,称为空间复杂度,主要是用来衡量实现一个算法需要的额外空间

时间复杂度

概念

定义

  • 算法的时间复杂度是一个数学函数,它定量描述了该算法的运行时间
  • 一个算法所花费的时间与其语句中的执行次数成正比,算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度

计算方法

void func1(int N){
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; i++) {    
		for (int j = 0; j < N ; j++) {       
			count++;       //————>N*N
		}   
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
		count++;           //————>N*2
	}    
	int M = 10;    
	while ((M--) > 0) {        
		count++;           //————>10
	}    
	System.out.println(count); 
}

Func1执行的基本操作次数为:

$F(N)=N^2+2*N+1$

  • N = 10        F(N) = 130
  • N = 100      F(N) = 10210
  • N = 1000    F(N) = 1002010

推导大O阶方法大O符号,用于描述函数渐进行为的数学符号

  • 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数
  • 在修改后的运行次数函数中,只保留最高项
  • 如果最高阶存在且不为 1,则去除与这个项相乘的常数
  • 使用大O阶渐进表示法后,func的时间复杂度为:$N^2$

实例计算

【实例1】

//计算func2的时间复杂度
void func2(int N) {    
	int count = 0;    
	for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {        
		count++;         //————>N*2
	}    
	int M = 10;    
	while ((M--) > 0) {        
		count++;         //————>10
	}    
	System.out.println(count); 
}
  • func2的时间复杂度为:$O(N*2+10)$ 即 $O(N)$

【实例2】

//计算func3的时间复杂度
void func3(int N, int M) {    
	int count = 0;    
	for (int k = 0; k < M; k++) {        
		count++;     //————>M
	}    
	for (int k = 0; k < N ; k++) {        
		count++;     //————>N
	}    
	System.out.println(count); 
}
  • func3的时间复杂度为:$O(M+N)$

【实例3】

// 计算func4的时间复杂度
void func4(int N) {   
	int count = 0;    
	for (int k = 0; k < 100; k++) {        
		count++;       //————>100
	}    
	System.out.println(count); 
}
  • func4的时间复杂度为:$O(1)$

【实例4】:冒泡排序的时间复杂度

// 计算bubbleSort的时间复杂度
void bubbleSort(int[] array) {    
	for (int end = array.length; end > 0; end--) {  //————>(N-1)项
		boolean sorted = true;        
		for (int i = 1; i < end; i++) {      //———>(N-1)+(N-2)+(N-3)+...+1
			if (array[i - 1] > array[i]) {   //等差数列求和,首:N-1  末:1  项数:N-1
				Swap(array, i - 1, i);                
				sorted = false;           
			}       
		}        
		if (sorted == true) {            
			break;       
		}   
	} 
}
  • 第11,12行对代码进行了优化,时间复杂度为:$O(N)$
  • 若无优化,最好和最坏的结果都是:$O(\frac{N^2-N}{2})$ 即 $O(N^2)$

【实例5】:二分查找的时间复杂度

// 计算binarySearch的时间复杂度
int binarySearch(int[] array, int value) {    
	int begin = 0;    
	int end = array.length - 1;    
	while (begin <= end) {                   
		int mid = begin + ((end-begin) / 2);        
		if (array[mid] < value)            
			begin = mid + 1;        
		else if (array[mid] > value)            
			end = mid - 1;        
		else;
			return mid;   
	}    
	return -1; 
}
  • 分一次,还剩 $\frac{n}{2}$ 个数;分两次,还剩 $\frac{n}{2^2}$ 个数......分 $x$ 次,还剩 $\frac{n}{2^x}$ 个数。
  • 在结果最坏时,当只有一个剩余的数的时候,就找到了,所以此时  $\frac{n}{2^x} = 1$  ,即 $n= 2^x$
  • binarySearch的时间复杂度为:$O(log_2n)$

【实例6】:阶乘递归的时间复杂度

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度
long factorial(int N) { 
	return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N; 
}
  • 递归的复杂度 = 递归的次数 * 每次递归后代码的执行次数
  • 递归的次数为N;每次递归回来执行三目运算,它的时间复杂度为 $O(1)$
  • 阶乘递归的时间复杂度为:$O(N*1) = O(N)$

【实例7】:斐波那契递归的时间复杂度

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度
int fibonacci(int N) { 
	return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2); 
}

  • 第 n 层节点个数为:$2^{n-1}$ ,则总递归次数为:
  • $2^0+2^1+2^2+...+2^{n-1}=\frac{1*(1-2^{n-1})}{1-2}=2^n-1$
  • 每次递归后代码执行三目运算,时间复杂度为:$O(1)$
  • 斐波那契递归的时间复杂度为:$O(2^n*1)=O(2^n)$

空间复杂度

概念

  • 空间复杂度是对一个算法在运行过程中,临时占用存储空间大小的量度。
  • 计算规则基本上与时间复杂度一样,也使用大O渐进法表示

实例计算

【实例1】:冒泡排序的空间复杂度

// 计算bubbleSort的空间复杂度
void bubbleSort(int[] array) {    
	for (int end = array.length; end > 0; end--) {        
		boolean sorted = true;        
		for (int i = 1; i < end; i++) {            
			if (array[i - 1] > array[i]) {                
				Swap(array, i - 1, i);                
				sorted = false;           
			}       
		}        
		if (sorted == true) {            
			break;       
		}
	}
}
  • 空间复杂度为:$O(1)$

【实例2】:斐波那契的空间复杂度

// 计算fibonacci的空间复杂度
int[] fibonacci(int n) {    
	long[] fibArray = new long[n + 1];    
	fibArray[0] = 0;    
	fibArray[1] = 1;    
	for (int i = 2; i <= n ; i++) {    
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];   
	}    
	return fibArray; 
}
  • 空间复杂度为:$O(N)$

【实例3】:阶乘递归的空间复杂度

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度
long factorial(int N) { 
	return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N; 
}
  • 空间复杂度为:$O(N)$

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