线性代数_矩阵

2024-07-11 14:30:33

1 矩阵的基本概念

1.基本矩阵

由 $m \times n$ 个数 $^{a_{ij}}$ (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)排成m行n列的矩形表格

A = $\begin{bmatrix} ^{a_{11}}&^{a_{12}} &\cdots &^{a_{1n}}\\ ^{a_{21}}& ^{a_{22}} & \cdots &^{a_{2n}}\\ \vdots& \vdots & & \vdots\\ ^{a_{m1}}& ^{a_{m2}} &\cdots &^{a_{mn}} \end{bmatrix}$

称为一个 $m \times n$ 矩阵，简称A或者 $^{(a_{ij})_{m\times n}}$ ;当m=n时，称A为n阶方阵。

2.同型矩阵

两个矩阵A= $^{(a_{ij})_{m\times n}}$ ,B= $^{(a_{ij})_{x\times y}}$ ,若m=x.n=y,称为同型矩阵。

即：A矩阵的行数和B矩阵的行数相等，A矩阵和列数和B矩阵的列数相等。

3.行矩阵和列矩阵

行矩阵：只有1行的矩阵叫做行矩阵。

A= $\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix}$

列矩阵：只有1列的矩阵叫列矩阵。

A= $\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}$

4.零矩阵

零矩阵:矩阵内的所有元素都是0，记作O

A = $\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots &0 \\ 0& 0 &\cdots &0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0& 0&\cdots & 0 \end{bmatrix}$

5.负矩阵

把原来矩阵的所有元素都取负号，为相反数，称为负矩阵。（例如的负矩阵为）

A= $\begin{bmatrix} 1 & 1&1 \\ 0&0 &0 \\ 0& 1& 0 \end{bmatrix}$ ,-A= $\begin{bmatrix} -1 & -1&-1 \\ 0&0 &0 \\ 0& -1& 0 \end{bmatrix}$

6.方阵

m=n的矩阵，成为方阵。

只有在方阵中才有对角线的概念:

7.单位矩阵

对角线为1，其余元素为0，这种矩阵称为单位矩阵,记作E。

A= $\begin{bmatrix} 1 & 0&0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

8.转置矩阵

将 $m \times n$ 矩阵A= $^{(a_{ij})_{m\times n}}$ 的行与列互换得到 $n \times m$ 矩阵，称为A的转置矩阵，记作 $^{A^{T}}$ 。

$^{A^{T}}$ = $\begin{bmatrix} ^{a_{11}}&^{a_{21}} &\cdots &^{a_{m1}}\\ ^{a_{12}}& ^{a_{22}} & \cdots &^{a_{m2}}\\ \vdots& \vdots & & \vdots\\ ^{a_{1n}}& ^{a_{2n}} &\cdots &^{a_{mn}} \end{bmatrix}$

2 矩阵的运算

1.矩阵相等

矩阵A，B为同型矩阵且每个元素相等，则矩阵A=B。

2.矩阵的加法和减法

同型矩阵可以相加，做加法时对应元素相加。

A+B = $^{(a_{ij})_{m\times n}}$ + $^{(b_{ij})_{m\times n}}$ = $^{(c_{ij})_{m\times n}}$ =c

其中 $^{c_{ij}}$ = $^{a_{ij}}$ + $^{b_{ij}}$ (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

举例

$\begin{bmatrix} 1 & 1&0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \dotplus \begin{bmatrix} 1 & 1&0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2&0 \\ 0&2 &0 \\ 0& 0& 2 \end{bmatrix}$

运算法则

A+B=B+A

(A+B+C) = A+(B+C)

A+(-A)=0

A+B = C $\Leftrightarrow$ A = C - B

3.数乘矩阵

设k是一个数，A是一个m × n 矩阵，数k和A 的乘积为数乘矩阵，即A 的每个元素都乘以 k.

kA=Ak=k $\begin{bmatrix} ^{a_{11}}&^{a_{12}} &\cdots &^{a_{1n}}\\ ^{a_{21}}& ^{a_{22}} & \cdots &^{a_{2n}}\\ \vdots& \vdots & & \vdots\\ ^{a_{m1}}& ^{a_{m2}} &\cdots &^{a_{mn}} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ^{ka_{11}}&^{ka_{12}} &\cdots &^{ka_{1n}}\\ ^{ka_{21}}& ^{ka_{22}} & \cdots &^{ka_{2n}}\\ \vdots& \vdots & & \vdots\\ ^{ka_{m1}}& ^{ka_{m2}} &\cdots &^{ka_{mn}} \end{bmatrix}$ = $^{(ka_{ij})_{m\times n}}$

运算法则

k(A+B) = kA + kB

(k+m)A = kA + mA

k(mA) = kmA

4.矩阵乘法

设A是m × s矩阵，B是s × m 矩阵，则A,B可乘（A的列数必须与B的列数相等）。

C=A ×B= $^{(c_{ij})_{m\times n}}$ ，其中：

$c_{ij} = \sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} +...+a_{is}b_{sj},(i=1,2,...m,j=1,2,...n)$

举例

$\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 &5 &6 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4 \\ 5& 6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\times 1+2\times 3+3\times5 &1\times 2+2\times 4+3\times 6 \\ 4\times 1+5\times 3+6\times5& 4\times 2+5\times 4+6\times 6 \end{bmatrix}$

cij(i是a中的第i行，j是b中的第j列,所以a的列和b的行必须相等）。

5. 向量的內积与正交

https://blog.****.net/wxc971231/article/details/118544561

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