MIT线性代数-方程组的几何解释

2024-04-19 08:51:12

  • 方程组： 2 x − y = 0 ; − x + 2 y − z = − 1 ; − 3 y + 4 z = 4 2x-y=0;\quad-x+2y-z=-1;\quad-3y+4z=4 2x−y=0;−x+2y−z=−1;−3y+4z=4
  • 转换成矩阵：
    x [ 2 − 1 0 ] + y [ − 1 2 − 3 ] + z [ 0 − 1 4 ] = [ 0 − 1 4 ] x\begin{bmatrix}2\\\\-1\\\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\\\2\\\\-3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix} x ​2−10​ ​+y ​−12−3​ ​+z ​0−14​ ​= ​0−14​ ​
  • 从列方向的角度来看，我们是以 a = [ 2 − 1 0 ] , b = [ − 1 2 − 3 ] , c = [ 0 − 1 4 ] a=\begin{bmatrix}2\\\\-1\\\\0\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}-1\\\\2\\\\-3\end{bmatrix},c=\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix} a= ​2−10​ ​,b= ​−12−3​ ​,c= ​0−14​ ​为基，以x,y,z为系数画图，求得向量 z = [ 0 − 1 4 ] z=\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix} z= ​0−14​ ​
  • 那么我们就可以以更简单的方式进行求解系数x,y,z
    在这里插入图片描述
  • 通过矩阵方程和图形可以看出，当x=0,y=0,z=1时可以得到结果
    0 [ 2 − 1 0 ] + 0 [ − 1 2 − 3 ] + 1 [ 0 − 1 4 ] = [ 0 − 1 4 ] 0\begin{bmatrix}2\\\\-1\\\\0\end{bmatrix}+0\begin{bmatrix}-1\\\\2\\\\-3\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix} 0 ​2−10​ ​+0 ​−12−3​ ​+1 ​0−14​ ​= ​0−14​ ​
  • 只有当向量a,b,c 相互独立，那么就可以通过系数x,y,z来求得向量z;
  • AX=b 表示的是将A的列向量进行组合得到向量b.
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