我们从求解线性方程组来开始这门课，从一个普通的例子讲起：方程组有 2 个未知数，一共有 2 个方程，分别来看方程组的 行图像（Row Picture） 和 列图像（Column Picture）。
有方程组 $ \left\{ \begin{eqnarray*} 2x & - & y & = & 0 \\ -x & + & 2y & = & 3 \end{eqnarray*} \right. $ ，写作矩阵形式有 $ \left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array} \right] $ ，通常我们把这里面的第一个矩阵称为系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，将第二个矩阵称为向量 $\boldsymbol{x}$ ，将第三个矩阵称为向量 $\boldsymbol{b}$ ，于是线性方程组可以表示为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 。
我们先来看 Row Picture，即我们通常在直角坐标系中绘制的图像：
上图是我们都很熟悉的直角坐标系中两直线相交的情况，接下来我们按列观察方程组：$ x \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right] + y \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array} \right] $（我们把第一个列向量称为 :$\boldsymbol{col_1}$ ，第二个列向量称为 $\boldsymbol{col_2}$），可记为 $x \boldsymbol{col_1} + y \boldsymbol{col_2} =\boldsymbol{b}$ 。通过简单观察可知当 $x = 1$ ， $y = 2$ 时该式子成立。我们绘制出这里面出现的一些向量，即 Column Picture：
如图所示，绿色向量（ $\boldsymbol{col_1}$ ）与蓝色向量（$2\boldsymbol{col_2}$）合成了红色向量（ $\boldsymbol{b}$ ）。
我们继续观察 $x \boldsymbol{col_1} + y \boldsymbol{col_2} = \boldsymbol{b}$ ，$\boldsymbol{col_1}$ 和 $\boldsymbol{col_2}$ 的某种线性组合得到向量 $\boldsymbol{b}$ ，那么 $\boldsymbol{col_1}$ 和 $\boldsymbol{col_2}$ 的所有线性组合能够得到什么结果？它们将铺满整个平面。
下面进入三个未知数的方程组：$\left\{ \begin{eqnarray*} 2x & - & y & \mbox{ } & \mbox{ } & = & 0 \\ -x & + & 2y & - & z & = & -1 \\ \mbox{ } & - & 3y & + & 4z & = & 4 \end{eqnarray*} \right.$ ，写作矩阵形式：$\boldsymbol{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \end{array} \right]$ ，$\boldsymbol{b} = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right]$ 。在三维直角坐标系中，每一个方程将确定一个平面，而例子中的三个平面会相交于一点，这个点就是方程组的解。
同样的，我们再按列观察这个方程组：$x \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right] + y \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] + z \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right]$ 。易知教授特意安排的例子中最后一个列向量恰巧等于等式右边的 $\boldsymbol{b}$ 向量，所以我们需要的线性组合为 $\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\\z=1\end{array}\right.$。我们并不能总是这么轻易的求出正确的线性组合，所以下一讲将介绍 消元法 —— 一种线性方程组的系统性解法。
现在，我们需要考虑，对于任意的 $\boldsymbol{b}$ ，是否都能求解 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ ？用列向量线性组合的观点阐述就是，列向量的线性组合能否覆盖整个三维向量空间？对上面这个例子，答案是肯定的，这个例子中的 $\boldsymbol{A}$ 是我们喜欢的矩阵类型，但是对另一些矩阵，答案是否定的。那么在什么情况下，三个向量的线性组合得不到 $\boldsymbol{b}$ ？
如果三个向量在同一个平面上，问题就出现了 —— 那么他们的线性组合也一定都在这个平面上。举个例子，比如 $\boldsymbol{col_3} = \boldsymbol{col_1} + \boldsymbol{col_2}$ ，那么不管怎么组合，这三个向量的结果都逃不出这个平面。因此当 $\boldsymbol{b}$ 在平面内，方程组有解；而当 $\boldsymbol{b}$ 不在平面内，这三个列向量就无法构造出 $\boldsymbol{b}$ 。在后面的课程中，我们会了解到这种情形称为奇异 、 矩阵不可逆 。
下面我们推广到九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程，此时已经无法从坐标图像中描述问题了，但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题，仍然是上面的问题，是否总能得到 $\boldsymbol{b}$ ？当然这仍取决于这九个向量，如果我们取一些并不相互独立的向量，则答案是否定的，比如取了九列但其实只相当于八列，有一列毫无贡献（这一列是前面列的某种线性组合），则会有一部分 $\boldsymbol{b}$ 无法求得。
接下来介绍方程的矩阵形式 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ ，这是一种乘法运算，举个例子，取 $\boldsymbol{A} = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} \right]$ ，$\boldsymbol{x} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right]$ 来看如何计算：
- 使用列向量线性组合的方式，一次计算一列：$\left[ \begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] = 1 \left[ \begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array} \right] + 2 \left[ \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 12 \\ 7 \end{array} \right]$
- 另一种方法，使用向量内积，矩阵的行向量点乘列向量 $\boldsymbol{x}$ 的转置 $\boldsymbol{x}^T$ ：$\left[ \begin{array}{cc} 2 & 5 \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right]^T=12$ ，$\left[ \begin{array}{cc} 1 & 3 \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{c}1 \\2\end{array} \right]^T= 7$
教授建议使用第一种方法，将 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 看做对 $\boldsymbol{A}$ 中列向量的线性组合。