感知机模型

假设输入空间\(\mathcal{X}\subseteq \textbf{R}^n\)，输出空间是\(\mathcal{Y}=\{-1,+1\}\)．输入\(\textbf{x}\in \mathcal{X}\)表示实例的特征向量，对应于输入空间的点；输出\(y\in \mathcal{Y}\)表示实例的类别。有输入空间到输出空间的如下函数：

\[\begin{aligned} f(x)= g(\textbf{w}\cdot \textbf{x}+b) \end{aligned} \tag{1} \]

称为感知机，其中\(\textbf{w}\)和\(b\)为感知机模型参数，\(\textbf{w}\in \textbf{R}^n\)叫做权值(weight)或权值向量(weight vector),
\(b \in \textbf{R}\)叫做偏置(bias)，\(\textbf{w}\cdot \textbf{x}\)叫做\(\textbf{w}\)和\(\textbf{x}\)的内积。\(g\)是表示激活函数。理想中的中的激活函数是“阶跃函数”，即

\[\begin{aligned} \mathrm{sgn}(x)=\left\{ \begin{aligned} +1, \quad x \geqslant 0\\ 0, \quad x<0 \end{aligned} \right . \end{aligned} \tag{2} \]

它将输入值映射为输出值0或1，显示“1”对应于神经元兴奋，“0”对应于神经元抑制。然而，阶跃函数具有不连续、不光滑等不太好的性质(
函数不连续时无法求梯度。在Pytorch/Tensorflow中体现为梯度将一直保持初值\(0\)，你可以试一试)
，因而实际常用下面这个\(\text{Sigmoid}\)函数做为激活函数，它把可能在较大范围内变化的输入值挤压到\((0,1)\)输出值范围内，因而有时也被称为“挤压函数”(squashing function)。

\[\begin{aligned} \mathrm{sigmoid}(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} \end{aligned} \]

感知机是一种线性分类模型，属于判别模型。感知机模型的假设空间是定义在特征空间的所有线性分类模型(linear classification model)
或线性分类器(linear classifier)，即函数集合\(\{ f|f(\textbf{x})=\textbf{w}\cdot \textbf{x}+b\}\)。

异或问题

我们将感知机用于学习一个简单的\(\text{XOR}\)函数。我们将其建模为二分类问题，这里我们采用上一章讲过的对数损失函数，并使用梯度下降法进行训练。

import numpy as np
import random
import torch
# batch_size表示单批次用于参数估计的样本个数
# y_pred大小为(batch_size, )
# y大小为(batch_size, )，为类别型变量
def log_loss(y_pred, y):
    return -(torch.mul(y, torch.log(y_pred)) + torch.mul(1-y, torch.log(1-y_pred))).sum()/y_pred.shape[0]

# 前向函数
def perceptron_f(X, w, b): 
    z = torch.add(torch.matmul(X, w), b)
    return 1/(1+torch.exp(-z))

# 之前实现的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, w, b, y, n_iter, eta, loss_func, f):
    for i in range(1, n_iter+1):
        y_pred = f(X, w, b)
        loss_v = loss_func(y_pred, y)
        loss_v.backward() 
        with torch.no_grad(): 
            w -= eta*w.grad
            b -= eta*b.grad
        w.grad.zero_()
        b.grad.zero_()
    w_star = w.detach()
    b_star = b.detach()
    return w_star, b_star

# 本模型按照二分类架构设计
def Perceptron(X, y, n_iter=200, hidden_size=2, eta=0.001, loss_func=log_loss, optimizer=gradient_descent):
    # 初始化模型参数
    # 注意，各权重初始化不能相同
    w = torch.tensor(np.random.random((hidden_size, )), requires_grad=True)
    b = torch.tensor(np.random.random((1)), requires_grad=True)
    X, y = torch.tensor(X), torch.tensor(y)
    # 调用梯度下降法对函数进行优化
    # 这里采用单次迭代对所有样本进行估计，后面我们会介绍小批量法
    w_star, b_star = optimizer(X, w, b, y, n_iter, eta, log_loss, perceptron_f)
    return w_star, b_star

if __name__ == '__main__':
    X = np.array([
        [0, 0],
        [0, 1],
        [1, 0],
        [1, 1]
    ], dtype=np.float64)
    # 标签向量
    y = np.array([0, 1, 1, 0], dtype=np.int64)
    # 迭代次数
    n_iter = 2000
    # 学习率
    eta = 2 #因为每轮所求的梯度太小，这里增大学习率以补偿
    w, b = Perceptron(X, y, n_iter, hidden_size, eta, log_loss, gradient_descent)
    # 代入
    print(perceptron_f(torch.tensor(X), w, b))            

我们数据代入所学的的模型，我们发现模型的输出结果如下。我们可以发现\(4\)个样本的预测值都是\(0.5\)，不能拟合原本给定的\(4\)个样本点。如果你有兴趣可以将\(\bm{w}\)的梯度进行打印，可以发现\(\bm{w}\)的梯度来回震荡，这也就导致了权重\(\bm{w}\)无法稳定，最终导致模型最终无法收敛。

    tensor([0.5000, 0.5000, 0.5000, 0.5000], dtype=torch.float64)

看来，普通的感知机无法解决亦或问题。那这是为什么呢？我们前面说了，感知机的模型是一个线性分类模型，只能处理线性可分问题（你可以试试让其学习与、或、非等线性可分问题）。可以证明，若两类模式是线性可分的，即存在一个线性超平面能将他们分开，如下图中的\((a)-(c)\)所示，则感知机的学习过程一定会收敛(converge)而求得适当的权向量\(\bm{w}\)；否则感知机学习过程将会发生振荡(fluctuation)，\(\bm{w}\)难以稳定下来，不能求得合适解。亦或问题就是一种非线性可分问题。如图\((d)\)所示，我们无法用线性超平面去将正负样本分隔开。

人工智能奠基人之一的Marvin Minsky与1969年出版了《感知机》一书，书中指出，单层神经网络无法解决非线性问题，而多层神经网络的训练算法尚看不到希望，这个论断直接使神经网络研究进入了“冰河期”，这就是神经网络的第一次低谷。直到后来BP算法的走红，才掀起了神经网络的第二次高潮。

多层感知机

单层的感知机无法解决亦或问题，那多层的呢？我们接下来考虑一个多层神经网络，但相比前面的感知机多了一个隐藏层\(\bm{h}\)。设该网络第一层的权重矩阵为\(\textbf{W}\)(表示\(\bm{x}\)到\(\bm{h}\)的映射)，第二层的权重向量为\(\textbf{w}\)(表示\(\textbf{h}\)到中间变量\(z\))的映射，然后通过\(\text{Sigmoid}\)函数将\(z\)其映射到\(y\)这样神经网络包括两个嵌套在一起的函数\(\textbf{h} = f^{(1)}(\textbf{x};\textbf{W})\)和\(y=f^{(2)}(\textbf{h}; \textbf{w})\)。注意：此处为了简化起见，两层的偏置已经合并到权重\(W\)，\(w\)
中去了。这样整个神经网络可以表示成一个复合函数\(f(\textbf{x};\textbf{W}, \textbf{w})=f^{(2)}f^{(1)}(x)\)

\(f^{(1)}\)应该采用那种函数？如果我们仍然采用线性函数，那么前馈网络作为一个整体仍然是线性分类器。故我们要用非线性函数，而这可以通过仿射变换后加一个非线性变换实现
（不知道仿射变换的可以回顾线性代数），而这个非线性变换可以用我们在\(f^{(2)}\)中所包括的激活函数实现。

还有一个工程上需要注意的是，如果我们有多层网络，那么我们不能将所有网络层权重都初始化为相同的值，这样会造成所有网络层权重梯度变化方向一样,最终像单层感知机一样无法学习。我们可以将所有网络层权重初始化为\([0, 1)\)之间的随机数(注意，神经网络的输入及权重一般初始时都是归一化到\([0, 1)\)之间了的)。后面我们会介绍更科学的\(\text{golort}\)权重初始化法。对于偏置，初始化为随机数或是常量(如\(0\)或\(1\))不影响，我们这里仍然采取将其初始化为\([0, 1)\)之间的随机数。

我们在原本的网络中多加一层。

import numpy as np
import random
import torch
# batch_size表示单批次用于参数估计的样本个数
# y_pred大小为(batch_size, )
# y大小为(batch_size, )，为类别型变量
def log_loss(y_pred, y):
    return -(torch.mul(y, torch.log(y_pred)) + torch.mul(1-y, torch.log(1-y_pred))).sum()/y_pred.shape[0]

# 前向函数
def perceptron_f(X, W, w, b1, b2): 
    z1 = torch.add(torch.matmul(X, W), b1) 
    h = 1/(1+torch.exp(-z1)) 
    z2 = torch.add(torch.matmul(h, w), b2)
    return 1/(1+torch.exp(-z2))

# 之前实现的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, W, b1, w, b2, y, n_iter, eta, loss_func, f):
    for i in range(1, n_iter+1):
        y_pred = f(X, W, w, b1, b2)
        loss_v = loss_func(y_pred, y)
        loss_v.backward() 
        with torch.no_grad(): 
            W -= eta*W.grad
            w -= eta*w.grad
            b1 -= eta*b1.grad
            b2 -= eta*b2.grad
        W.grad.zero_()  
        w.grad.zero_()
        b1.grad.zero_()
        b2.grad.zero_()
    W_star = W.detach()
    w_star = w.detach()
    b1_star = b1.detach()
    b2_star = b2.detach()
    return W_star, w_star, b1_star, b2_star

# 本模型按照二分类架构设计
def Perceptron(X, y, n_iter=200, hidden_size=2, eta=0.001, loss_func=log_loss, optimizer=gradient_descent):
    # 初始化模型参数
    # 注意，各权重初始化不能相同
    W = torch.tensor(np.random.random((X.shape[1], hidden_size)), requires_grad=True)
    b1 = torch.tensor(np.random.random((1)), requires_grad=True)
    w = torch.tensor(np.random.random((hidden_size, )), requires_grad=True)
    b2 = torch.tensor(np.random.random((1)), requires_grad=True)
    X, y = torch.tensor(X), torch.tensor(y)
    # 调用梯度下降法对函数进行优化
    # 这里采用单次迭代对所有样本进行估计，后面我们会介绍小批量法
    W_star, w_star, b1_star, b2_star = optimizer(X, W, b1, w, b2, y, n_iter, eta, log_loss, perceptron_f)
    return W_star, w_star, b1_star, b2_star

if __name__ == '__main__':
    X = np.array([
        [0, 0],
        [0, 1],
        [1, 0],
        [1, 1]
    ], dtype=np.float64)
    # 标签向量
    y = np.array([0, 1, 1, 0], dtype=np.int64)
    # 迭代次数
    n_iter = 2000
    # 学习率
    eta = 2 #因为每轮所求的梯度太小，这里增大学习率以补偿
    # 隐藏层神经元个数
    hidden_size = 2
    W, w, b1, b2 = Perceptron(X, y, n_iter, hidden_size, eta, log_loss, gradient_descent)
    # 代入
    print(perceptron_f(torch.tensor(X), W, w, b1, b2))

你可以将原始样本点带入学得的模型，可以发现拟合结果如下所示，总体效果不错(因为数值精度问题，一般不会完全拟合)

    tensor([0.0036, 0.9973, 0.9973, 0.0030], dtype=torch.float64)

更一般地，常见的神经网络是多层的层级结构，每层神经元与下一层神经元全互联，神经元之间不存在同层连接，也不存在跨层连接，这样的神经网络结构通常称为“多层前馈神经网络”(multi-layer feedforward neural)或多层感知机(multi-layer perceptron，MLP)。