奔小康赚大钱
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Problem Description
传说在遥远的地方有一个非常富裕的村落,有一天,村长决定进行制度改革：重新分配房子。
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).
Input
输入数据包含多组测试用例，每组数据的第一行输入n,表示房子的数量(也是老百姓家的数量)，接下来有n行,每行n个数表示第i个村名对第j间房出的价格(n<=300)。
Output
请对每组数据输出最大的收入值，每组的输出占一行。
Sample Input
2
100 10
15 23
Sample Output
123
Source
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第一道KM
定理：设 L 是二部图 G 的可行顶标。若 L 等价子图 GL 有完美匹配 M，则 M 是 G 的最佳匹配。
KM算法其实就是在找等价子图
第一道KM
定理：设 L 是二部图 G 的可行顶标。若 L 等价子图 GL 有完美匹配 M，则 M 是 G 的最佳匹配。
KM算法其实就是在找等价子图
对于具有二部划分( V1, V2 )的加权完全二分图，其中 V1= { x1, x2, x3, ... , xn }， V2= {y1, y2, y3, ... , yn }，边< xi, yj>具有权值 Wi,j。该带权二分图中一个总权值最大的完美匹配，称之为最佳匹配。
记 L(x) 表示结点 x的标记量，如果对于二部图中的任何边<x,y>，都有 L(x)+L(y)>= Wx,y，我们称L 为二部图的可行顶标。
设 G(V,E) 为二部图， G'(V,E') 为二部图的子图。如果对于 G'中的任何边<x,y> 满足， L(x)+ L(y)==Wx,y，我们称G'(V,E') 为 G(V,E) 的等价子图。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 400
#define INF 0x3f3f3f
int match[MAXN];//匹配数组
int lx[MAXN],ly[MAXN];//顶标
int slack[MAXN];//记录最小松弛量
int map[MAXN][MAXN];
bool visx[MAXN],visy[MAXN];//标记x，y
int nx,ny;
int DFS(int x)
{
visx[x]=true;
for(int y=0;y<ny;y++)
{
if(visy[y]) continue;//如果y已经在等价子图中
int t=lx[x]+ly[y]-map[x][y];
if(t==0)//t==0说明y点是等价子图新增的节点
{
visy[y]=true;
if(match[y]==-1||DFS(match[y]))
{
match[y]=x;
return 1;
}
}
else if(slack[y]>t)//t!=0记录最小松弛量
slack[y]=t;
}
return 0;
}
int KM()
{
memset(match,-1,sizeof(match));
memset(ly,0,sizeof(ly));
for(int x=0;x<nx;x++)
{
lx[x]=-INF;
for(int y=0;y<ny;y++)
{
lx[x]=max(lx[x],map[x][y]);
}
}
for(int x=0;x<nx;x++)
{
for(int i=0;i<ny;i++)
slack[i]=INF;
while(1)
{
memset(visx,false,sizeof(visx));
memset(visy,false,sizeof(visy));
if(DFS(x)) break;//如果匹配成功
int d=INF;
//如果匹配不成功，说明等价子图中的点不足
//寻找松弛量中的最小值，对lx，ly进行处理，间接增加等价子图中的点
for(int i=0;i<ny;i++)
{//寻找不在等价子图中的点的最小松弛量
if(!visy[i]&&d>slack[i])
d=slack[i];
}
for(int i=0;i<nx;i++)
{
if(visx[i])
lx[i]-=d;//修改顶标
}
//保证lx修改后已经在等价子图中的点还继续在，ly+d
//使得lx-d+ly+d-map[x][y]==0仍成立
for(int i=0;i<ny;i++)
{
if(visy[i])
ly[i]+=d;
else
slack[i]-=d;//lx-d+ly-map[x][y]==slack[y]-d
}
}
}
int res=0;
for(int i=0;i<ny;i++)
{
if(match[i]!=-1)//match！=-1说明已经匹配过
res+=map[match[i]][i];
}
return res;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
nx=ny=n;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
scanf("%d",&map[i][j]);
int ans=KM();
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}