[JLOI2014]松鼠的新家

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题目大意：

对给定路径上的所有点进行区间加和，最后进行单点查询。

分析：

一道树上差分裸题，当然也可以用树剖来做，不过因为不用进行修改，树链剖分就有些大材小用了。对于这种不用修改的区间的修改，我们最先能想到差分。

普通差分：

对于数组a[i]，如果我们想要进行区间修改与单点查询，最暴力的做法就是n个单点修改，O(1)的单点查询。而这会使得修改的时间复杂度特别高。

而差分则相反，其区间修改的时间复杂度为O(1)，而单点查询则为O(n)，且当要求输出全部节点的结果时，也仅需全部遍历一次。

差分的原理是通过记录相邻元素的变化量，再通过前缀求和来得到单点的信息。

设b数组为差分数组，a数组为答案数组，则有：

   

而对于区间修改，我们只需要在起始点的对差分数组进行加（减），再在终点处的后一位置进行减（加）

树上差分：

对于树上的路径修改，我们首先把路径分成两条。先求得其LCA（最近公共祖先），将该路径分割成两条链，再对这两条链进行整体修改。

对于树上的差分，差分数组记录的是 改点答案与子树答案总和的变化，即：

 

其中，x为当前节点，son[x]为其子树

于是，我们便可通过LCA与树上差分维护路径区间的修改

设 路径为从x到y，o = lca( x , y ) ，要对这条路径上的所有节点加v，那么操作为

       

这里注意，我们要对O的父亲节点的差分数组做减法，这样才能保证O点也被修改到

本题代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 300010
int tr[maxn<<2];
int head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],tot=0;
int son[maxn],fa[maxn],top[maxn],sz[maxn],dep[maxn],idx[maxn],num=0;
int ans[maxn];
int pa[maxn];
int n;
void add(int x,int y)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void dfs1(int x,int f)
{
    fa[x]=f;
    sz[x]=1;
    dep[x]=dep[f]+1;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==f) continue;
        dfs1(y,x);
        sz[x]+=sz[y];
        if(sz[y]>sz[son[x]]) son[x]=y;
    }
}
void dfs2(int p,int tp)
{
    top[p]=tp;
    if(son[p])
    dfs2(son[p],tp);
    for(int i=head[p];i;i=nxt[i])
    {
        if(to[i]!=fa[p]&&to[i]!=son[p])
        dfs2(to[i],to[i]);
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    return x;
}
void dfs_ans(int p)
{
    ans[p]=tr[p];
    for(int i=head[p];i;i=nxt[i])
    {
        if(to[i]==fa[p])
        continue;
        dfs_ans(to[i]);
        ans[p]+=ans[to[i]];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",pa+i);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,1);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {   
        int from=pa[i],end=pa[i+1];
        int o=lca(from,end);
        tr[o]-=1,tr[fa[o]]-=1,tr[end]+=1,tr[from]+=1;
    }
    dfs_ans(1);
    ans[pa[1]]++;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d \n",ans[i]-1);
}