HDU-4747 Mex 线段树应用 Mex性质

题意

给定长度为\(n\)的数组\(a\)，求

\[\sum \sum mex(i,j) \]

其中\(mex(i,j)\)表示区间\(mex(a_i...a_j)的值\)

\[1\leq n \leq 2\times 10^5\\ 1\leq a_i \leq 10^9 \]

分析

此题我认为还是不太好想到的

首先如果只求一维，由于单调性，求\(\sum mex(1,i)\)是可以在\(O(n)\)下完成的。

然后注意到第二维即\(\sum mex(2,i)\)该如何计算，这个时候\(1\)相当于没有了，1在这一维上产生的影响就是当前下一个等于\(a[1]\)的元素之前的一段。后面的显然和原来的保持不变，这就让我们想到了用区间维护。

那么\(a[1]\)会如何影响\([2,next[a[1]] - 1]\)呢？

再次想到\(mex\)在“前缀”意义上的单调性，我们只需要把其中大于\(a[1]\)的部分变为\(a[1]\)即可，其他部分的\(mex\)并不会受影响

最后由于递推，不要忘记单点修改。

所以问题就转化成了

• 求出每个数的下一个等于它的数出现的位置
• 求出第一个大于等于\(a[i]\)的位置
• 修改某一段区间的值

这些都可以用线段树实现，当然要注意一些细节，比如\(lazy\)标记应该设置\(-1\)，否则\(mx\)会无法下传，以及下一个位置数组应该在最后加上\(n + 1\)点

代码

struct Tree {
    int lazy;
    int sum;
    int mx;
    int l, r;
};

int n;
Tree node[maxn << 2];
int a[maxn];
int mex[maxn];
int nxt[maxn];

void push_up(int i) {
    node[i].sum = node[i << 1].sum + node[i << 1 | 1].sum;
    node[i].mx = max(node[i << 1].mx, node[i << 1 | 1].mx);
}

void build(int i, int l, int r) {
    node[i].l = l;
    node[i].r = r;
    if (l == r) {
        node[i].sum = mex[l];
        node[i].mx = mex[l];
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(i << 1, l, mid);
    build(i << 1 | 1, mid + 1, r);
    push_up(i);
}

void push_down(int i, int m) {
    if (node[i].lazy >= 0) {
        node[i << 1].lazy = node[i].lazy;
        node[i << 1 | 1].lazy = node[i].lazy;
        node[i << 1].sum = node[i].lazy * (m - (m >> 1));
        node[i << 1 | 1].sum = node[i].lazy * (m >> 1);
        node[i << 1].mx = node[i << 1 | 1].mx = node[i].lazy;
        node[i].lazy = -1;
    }
}

void update(int i, int l, int r, int val) {
    if (node[i].l > r || node[i].r < l) return;
    if (node[i].l >= l && node[i].r <= r) {
        //bug;
        node[i].lazy = val;
        node[i].sum = (node[i].r - node[i].l + 1) * val;
        node[i].mx = val;
        //cout << node[i].mx << ' ' << i << '\n';
        return;
    }
    push_down(i, node[i].r - node[i].l + 1);
    update(i << 1, l, r, val);
    update(i << 1 | 1, l, r, val);
    push_up(i);
}

int query(int i, int x) {
    if (node[i].l == node[i].r) {
        return node[i].l;
    }
    if (node[i << 1].mx > x) return query(i << 1, x);
    else return query(i << 1 | 1, x);
}


signed main() {
    while (scanf("%lld", &n)) {
        if (!n) break;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            a[i] = readint(), nxt[i] = n + 1;
        for (int i = 1; i < 4 * n; i++) {
            node[i].l = node[i].r = node[i].sum = node[i].lazy = -1, node[i].mx = 0;
        }
        unordered_map<int, int> mp;
        int cur = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (mp[a[i]]) nxt[mp[a[i]]] = i, mp[a[i]] = i;
            else mp[a[i]] = i;
            while (mp[cur]) cur++;
            mex[i] = cur;
        }
        build(1, 1, n);
        ll ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans += node[1].sum;
            if (node[1].mx > a[i]) {
                int l = query(1,a[i]);
                int r = nxt[i] - 1;
                if (l <= r) update(1, l, r, a[i]);
            }
            update(1, i, i, 0);
        }
        cout << ans << '\n';
    }
}