题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/U138580
帮助统治者解决问题之后，统治者准备奖励你两把剑，让你去打怪。
具体的来说，两把剑分别代表了两个长度为 \(n\) 的序列 \(a,b\)。
你什么方面都强，所以你可以分别重新锻造这两把剑，锻造就相当于重新排列这两个序列。
合并这两把剑，让它变成一把新剑（对应序列 \(c\)），合并相当于把对应位置上的数加起来 \(c[i]=a[i]+b[i]\)。
最后你准备拿着这把新剑去找大 Boss，造成的伤害是众数出现的次数。
问怎么排列才能使得伤害最大化，输出最大伤害。

思路

设 \(a[i],b[i]\) 分别表示序列一 / 二中，数字 \(i\) 出现的次数。\(ans[i]\) 表示中位数为 \(i\) 的答案。
那么显然有

\[ans[i]=\sum^{i}_{j=1}\min(a[j],b[i-j]) \]

我们发现这个式子很像卷积，但是并不可以直接把它们卷起来。
发现 \(\min(a,b)=\sum_{k}[a\geq k][b\geq k]\)，所以我们可以得出

\[ans[i]=\sum^{i}_{j=1}\sum_{k}\ [a[j]\geq k][b[i-j]\geq k] \]

直接实现是 \(O(nm\log n)\) 的，其中 \(m\) 是值域，这样还没有暴力优秀。
但是可以发现值超过 \(T\) 的 \(a[i],b[i]\) 数量不超过 \(\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\) 个。所以我们可以考虑分段乱搞。

• 当 \(i\leq T\) 的时候，我们就跑 FFT，时间复杂度 \(O(Tn\log n)\)。
• 当 \(i>T\) 的时候，我们直接跑暴力，时间复杂度 \(O(\frac{n^2}{T^2})\)。

所以总时间复杂度 \(O(Tn\log n+\frac{n^2}{T^2})\)。考虑到 FFT 的常数巨大，这里取 \(T=5\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define cp complex<double>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=400010,T=5;
const double pi=acos(-1);
int n,m1,m2,lim,a[N],b[N],c[N],d[N],rev[N];
ll maxn,ans[N];
cp f[N],g[N];

int read()
{
	int d=0; char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) d=(d<<3)+(d<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return d;
}

void FFT(cp *f,int tag)
{
	for (int i=0;i<lim;i++) 
		if (i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
	for (int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
	{
		cp temp(cos(pi/mid),tag*sin(pi/mid));
		for (int i=0;i<lim;i+=(mid<<1))
		{
			cp w(1,0);
			for (int j=0;j<mid;j++,w*=temp)
			{
				cp x=f[i+j],y=w*f[i+j+mid];
				f[i+j]=x+y; f[i+j+mid]=x-y;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	n=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) a[read()]++;
	for (int i=1;i<=n;i++) b[read()]++;
	lim=1;
	while (lim<=2e5) lim<<=1;
	for (int i=0;i<lim;i++)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(lim>>1):0);
	for (int j=1;j<=T;j++)
	{
		for (int i=0;i<lim;i++)
			f[i]=cp(a[i]>=j,0),g[i]=cp(b[i]>=j,0);
		FFT(f,1); FFT(g,1);
		for (int i=0;i<lim;i++) f[i]*=g[i];
		FFT(f,-1);
		for (int i=0;i<lim;i++)
			ans[i]+=(ll)(f[i].real()/lim+0.499999);
	}
	for (int i=0;i<lim;i++)
	{
		if (a[i]>T) c[++m1]=i;
		if (b[i]>T) d[++m2]=i;
	}
	for (int i=1;i<=m1;i++)
		for (int j=1;j<=m2;j++)
			ans[c[i]+d[j]]+=min(a[c[i]],b[d[j]])-T;
	for (int i=0;i<=lim;i++) maxn=max(maxn,ans[i]);
	printf("%lld",maxn);
	return 0;
}