P1306 斐波那契公约数
给定 \(n,m\) 求 \(Gcd(Fib_n,Fib_m)\) 。（\(1\leq n,m\leq 10^9\)）
结论：\(Gcd(Fib[n],Fib[m])=Fib[Gcd(n,m)]\) 。
证明见题解..
有了这个结论这个题就等价于求 \(Fib[n]\) 。（\(n\leq 10^9\)）
于是我们可以考虑矩阵快速幂。（好久没打了，都忘了。）
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
x=0;char ch=getchar();bool f=false;
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-'){f=true;}ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
x=f?-x:x;
return ;
}
template <typename T>
inline void write(T x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
return ;
}
const int N=3e5+5,mod=1e8;
#define int long long
int n,m;
int gcd(int x,int y){return !y?x:gcd(y,x%y);}
inline int inc(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
struct Matrix{
int a[2][2];
inline Matrix operator * (const Matrix B) const{
Matrix c;
memset(c.a,0,sizeof(c.a));
for(int i=0;i<2;i++){
for(int j=0;j<2;j++){
for(int k=0;k<2;k++){
c.a[i][j]=inc(c.a[i][j],a[i][k]*B.a[k][j])%mod;
}
}
}
return c;
}
}q,p;
Matrix QuickPow(Matrix x,int y){
Matrix res;
memset(res.a,0,sizeof(res.a));
res.a[0][0]=res.a[1][1]=1;
if(!y) return res;
while(y){
if(y&1) res=res*x;
x=x*x;
y>>=1;
}
return res;
}
signed main(){
read(n),read(m);
int Gcd=gcd(n,m);
q.a[0][0]=q.a[0][1]=1;p.a[0][1]=p.a[1][1]=p.a[1][0]=1;
q=q*QuickPow(p,Gcd-1);
write(q.a[0][0]%mod);
return 0;
}