poj2115-C Looooops(扩展欧几里德算法)

2023-07-29 17:58:16

本题和poj1061青蛙问题同属一类，都运用到扩展欧几里德算法，可以参考poj1061，解题思路步骤基本都一样。
一，题意：
　　对于for(i=A ; i!=B ;i+=C)循环语句，问在k位存储系统中循环几次才会结束。
　　　　比如：当k=4时，存储的数 i 在0-15之间循环。(本题默认为无符号)
　　若在有限次内结束，则输出循环次数。
　　否则输出死循环。
二，思路：
本题利用扩展欧几里德算法求线性同余方程，设循环次数为 x ,则解方程 (A + C*x) % 2^k = B ;求出最小正整数 x。
　　1，化简方程化为求线性同余方程标准式 ax ≡ b (mod n);
　　2，扩展欧几里德算法求解线性同余方程 C*x ≡ B-A (mod 2^k);
　　3，求出最小非负整数解。
三，步骤：
　　1，化简：(A + C*x) mod 2^K = B --> C*x mod 2^k = B-A --> C*x ≡ B-A (mod 2^k);
　　2，求线性同余方程 C*x ≡ B-A (mod 2^k) , 就相当于求二元一次方程 C*x + 2^k * y = B-A
　　　　i,代入扩展欧几里德算法，求解方程 C*x + 2^k * y = gcd(C , 2^k) ;
　　　　ii,利用方程 C*x + 2^k * y = gcd(C , 2^k)的解 x0 以及公式 x1 = x0 * c/d 求出原方程 a*x + b*y = c 的解 x1 ;前提是：d|c (c 能被 d 整除);
　　　3，利用周期性变化求最小的非负整数解公式: x1 = (x1 % (b/d) + (b/d) ) % (b/d);

　　　　若方程的C*x + 2^k * y = B-A 的一组整数解为(x1 , y1)，则它的任意整数解为(x1 + k * (b/d) , y1 - k * (a/d) ) ( k取任意整数 ), T = b/d就为 x1 增长的周期

　　　　　i，若x1为负值，取最大的非正值：x1 = x1 % T ; 若x1为正值，以下两步无影响;
　　　　　ii，取正：x1 = x1 + T ;
　　　　　iii，防止 i 中的 x1=0 即 ii 中的 x1=T ：x1 = x1 % T ;

代码如下：

 #include<iostream>

 using namespace std;

 void exgcd(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y){//int& a 是定义一个存放整形变量a的地址

     if(!b){ d=a ; x= ; y=; }              // d用来存储gcd(a,b)的值

     else { exgcd(b , a%b , d , y , x); y -= x* (a/b); }

 }

 int main(){

     long long  A,B,C,d,x,y,T;

     int k ;

     while(cin>>A>>B>>C>>k){

         if(A==&&B==&&C==&&k==)

              break;

         long long n = 1LL<<k; //n = 1 * 2^k ;注意此处,若为__int64,则应该是n = (__int64)1 << k;

         exgcd(C,n,d,x,y);

         if( (B-A) % d !=  ){

             cout<<"FOREVER\n";

         }

         else {

             x = x * (B-A) / d ;

             T = n / d;

             x = ( x%T + T ) % T ;

             cout<<x<<endl;

         }

     }

     return ;

 }

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