前言

因为CPU运算器中只有加法器，所有要把减法转换加法来运算，同时也是为了节约成本。
我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。

于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。
对于有符号数，符号的“正”“负”机器无法识别，因为正负刚好是截然两种状态，用”0“表示”正“，用”1“表示”负“，这样符号就被数字化了，规定将它们放在有效数字前面，组成有符号数。

原码

人们开始探索 将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。首先来看原码：

一个正数，按照绝对值大小转换成的二进制数；一个负数按照绝对值大小转换成的二进制数，然后最高位补1，称为原码。
比如
00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。
10000000 00000000 00000000 00000101 是-5的 原码。

---

计算十进制的表达式：1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [1000 0010]原 = -2

  1 - 1 
= 1 + (-1) 
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 
= [1000 0010]原 
= -2

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

备注：

比如byte类型,用2^8来表示无符号整数的话,是0 - 255了；
如果有符号， 最高位表示符号，0为正，1为负，那么，正常的理解就是 -127 至 +127 了，这就是原码了。

值得一提的是，原码的弱点，有2个0，即+0和-0（0000 0000和1000 0000）；
还有就是，进行异号相加或同号相减时，比较麻烦，先要判断2个数的绝对值大小，然后进行加减操作，最后运算结果的符号还要与大的符号相同。

于是，反码产生了。

反码

为了解决原码做减法的问题，出现了反码：

• 正数的反码与原码相同。
• 负数的反码为对该数的原码 除符号位外各位取反[每一位取反(除符号位)]。

取反操作指：原为1，得0；原为0，得1。（1变0; 0变1）
比如：

• 正数 5 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码
  还是— 00000000 00000000 00000000 00000101；
• 负数 -510000000 00000000 00000000 00000101 的反码
  则是— 11111111 11111111 11111111 11111010；
  反码是相互的，所以也可称：10000000 00000000 00000000 00000101和 11111111 11111111 11111111 11111010互为反码。

---

计算十进制的表达式: 1-1=0

  1 - 1 
= 1 + (-1) 
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 
= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 
= [1111 1111]反 
= [1000 0000]原
=  -0

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在0这个特殊的数值上。
虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。

补码

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

• 正数的补码与原码相同；
• 负数的补码为对该数的原码除符号位外各位取反，然后在最后一位加1；

而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。.
比如：
-5的原码是10000000 00000000 00000000 00000101
反码是：11111111 11111111 11111111 11111010。

那么，补码为：
11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

---

计算：

  1 - 1 
= 1 + (-1) 
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原 
= [0000 0001]补 + [1111 1111]补 
= [0000 0000]补 = [0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0 则不存在了，而且可以用[1000 0000]表示-128：

  (-1) + (-127) 
= [1000 0001]原 + [1111 1111]原
= [1111 1111]补 + [1000 0001]补
= [1000 0000]补

-1 - 127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补 就是-128。
但是注意，因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以 -128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原，这是不正确的)

使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。

因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是: [-2^31, 2^31-1] 因为第一位表示的是符号位。

备注：
1、从补码求原码的方法跟原码求补码是一样的 ，也可以通过完全逆运算来做(除了-128也就是[1000 0000]补 )，先减一，再取反。
2、补码却规定0没有正负之分。

总结

• 三种机械数的最高位均为符号位。
• 符号位和数值位可以用.或者,隔开。
• 当真值为正时，原码、补码、反码的表现形式均相同，符号位为0，数值部分和真值相同。
• 当真值为负时，原码、补码、反码的表现形式均相同，符号位为1，数值部分，补码是原码的”求反加1’，反码是原码的“每位求反”。