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3.裴波那契查找法（Fibonacci Search）

3.1）斐波那契数列：

   斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

    如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)

 

3.2）裴波那契查找（Fibonacci Search）是利用黄金分割原理实现的查找方法。

　　斐波那契查找的核心是：

　　　1.当key == a[mid]时，查找成功；（但是计算中间位置mid的方法不同）

　　　2.当key < a[mid]时，新的查找范围是low至mid-1, 此时范围个数为F[k-1] - 1个，即数组左边的长度；

　　　3.当key < a[mid]时，新的查找范围是mid+1至high，此时范围个数为F[k-2] - 1个，即数组右边的长度；

   解释： 和二分法相似，但是二分法是每次都把数组均为分为二，用的是（mid=(low+high)/2），但是裴波那契查找，也是把数组一分为二，但是左右的长度分别为，左侧F[k-1] - 1个，右侧F[k-2] - 1个（参考原理就是上面提到的F(n)=F(n-1)+F(n-2)），因此计算mid的公式为（mid = low + F[k-1] - 1）。即：折半查找每次将查找表对半分，裴波那契查找就是将拆分方式换成裴波那契数列

下图为示意图

         

 

3.3）代码：

/*定义斐波那契查找法*/
int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key)
{
	int low, high, mid, i, k;
	int F[MAXSIZE];
 
    Fibonacci(F); //构造一个斐波那契数组F
	low = 1;   //最低下标记录为首位
	high = n;  //最高下标记录为末位
	k = 0;
 
	while(n > F[k]-1)  //计算n位于斐波那契数列的位置
	{
		k++;
	}
 
	for(i=n; i<F[k]-1; i++)  //将a的元素扩展到(某斐波那契数 - 1)，即F[k]-1
	{
		a[i] = a[n];
	}
 
	while(low <= high)
	{
		mid = low + F[k-1] - 1;   //计算当前分割的下标
		if(key < a[mid])
		{
			high = mid - 1;
			k -= 1;
		}
		else if(key > a[mid])
		{
			low = mid + 1;
			k -= 2;
		}
		else
		{
			if(mid <= n)
				return mid;   //若相当则说明mid即为查找到的位置
			else
				return n;     //若mid>n则说明是扩展的数值，返回n
		}
	}
	return -1;
}

说明：

      1.需要判断现在数组的个数和斐波那契数列的大小关系。如果少要进行扩充，比如斐波那契数列是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...，但数组的大小是14个元素时，14介于数字13和21之间，也就是k=7和k=8之间，那么需要把数字空充到F【k】-1个，也就是扩充到20个，也需要添加6个元素，然后再来计算mid，才依次进行比较；

      2.注意比较完之后，两个k的计算不同，如果要对左侧继续进行比较，则需要k-=1；如果需要右侧，则k-=2

 

3.4）效率分析：

     关于斐波那契查找， 如果要查找的记录在右侧，则左侧的数据都不用再判断了，不断反复进行下去，对处于当众的大部分数据，其工作效率要高一些。所以尽管斐波那契查找的时间复杂度也为O(logn)，但就平均性能来说，斐波那契查找要优于折半查找。可惜如果是最坏的情况，比如这里key=1，那么始终都处于左侧在查找，则查找效率低于折半查找。
 

还有关键一点，折半查找是进行加法与除法运算的（mid=(low+high)/2），插值查找则进行更复杂的四则运算（mid = low + (high - low) * ((key - a[low]) / (a[high] - a[low]))），而斐波那契查找只进行最简单的加减法运算（mid = low + F[k-1] - 1），在海量数据的查找过程中，这种细微的差别可能会影响最终的效率。
 

参考：https://www.cnblogs.com/praglody/p/6739989.html

https://blog.csdn.net/qq_16234613/article/details/52690150

https://baike.sogou.com/v267267.htm?fromTitle=斐波那契数列

https://blog.csdn.net/zpluw/article/details/7757331