数据结构与算法系列----最小生成树（Prim算法&Kruskal算法）

2023-07-24 15:55:34

一：Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法）。图论中的一种算法。可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中。不但包含了连通图里的全部顶点（英语：Vertex (graph theory)）。且其全部边的权值之和亦为最小。

该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现。并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。

因此，在某些场合。普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2.算法简单描写叙述

1).输入：一个加权连通图。当中顶点集合为V，边集合为E。

2).初始化：Vnew = {x}。当中x为集合V中的任一节点（起始点）。Enew = {},为空；

3).反复下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，当中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，而且v∈V（假设存在有多条满足前述条件即具有同样权值的边。则可随意选取当中之中的一个）；

b.将v增加集合Vnew中。将<u, v>边增加集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描写叙述所得到的最小生成树。

3.算法的图例描写叙述

图例	说明	不可选	可选	已选（V_new）
	此为原始的加权连通图。每条边一側的数字代表其权值。	-	-	-
watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="" height="168" width="132">	顶点D被随意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。 A是距离D近期的顶点，因此将A及相应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A近期的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此， F距D或A近期，因此将顶点F与对应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续反复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，能够在C、E与G间进行选择。 C距B为8。E距B为7，G距F为11。 E近期，因此将顶点E与对应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里。可供选择的顶点仅仅有C和G。 C距E为5，G距E为9。故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点。它距F为11。距E为9，E近期，故高亮表示G 及对应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="" height="168" width="132">	如今，全部顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

4.简单证明prim算法

反证法：如果prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).如果存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0

3).将<u,v>增加G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是由于<u,v>∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故如果不成立。命题得证.

完整代码例如以下：

用邻接矩阵存储图，设置两个数组lowCost和adjIndex，当中前者代表边的权值，后者代表相应lowCost该边的起点。

#include<iostream>

using namespace std;

int graph[20][20];//邻接矩阵

char * vertex;//保存顶点

int Prim(int&);

int main()

{

/*

6 10

A B C D E F

0 1 6

0 2 1

0 3 5

1 2 5

1 4 3

3 2 5

3 5 2

2 5 4

2 4 6

4 5 6

*/

	//////1.输入图的顶点数和弧数

	cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";

	int vexNum, arcNum;

	cin >> vexNum >> arcNum;

	//////2.初始化邻接矩阵

	for (int i = 0; i < vexNum; i++)

		for (int j = 0; j < vexNum; j++)

			graph[i][j] = INT_MAX;//无限大

	/////3.输入顶点

	cout << "请输入" << vexNum << "个顶点信息: ";

	vertex = new char[vexNum];

	for (int i = 0; i < vexNum; i++)

		cin >> vertex[i];

	//////4.输入弧信息（边的方向和权值）

	cout << "请输入" << arcNum << "个弧的信息: \n";

	int a, b, c;

	for (int i = 0; i < arcNum; i++)

	{

		cin >> a >> b >> c;

		graph[a][b] = c;

		graph[b][a] = c;

	}

	//////5.输出最小生成树

	cout << "\n\n最小树为: \n";

	int x = Prim(vexNum);

	cout << "\n最小权和为" << x << endl<<endl;

	return 0;

}

int Prim(int & _vexNum)//Prim最小生成树

{

	int * lowCost = new int[_vexNum];//保存边上的权值

	int * adjIndex = new int[_vexNum];//

	for (int i = 1; i < _vexNum; i++)

	{

		lowCost[i] = graph[0][i];

		adjIndex[i] = 0;

	}

	lowCost[0] = 0;//z这里用了一个技巧，赋值为0表示该点已增加生成树，以后不做处理，相当于常常碰见的visited标记数组，当然你也能够赋值为-1

	adjIndex[0] = 0;

	int min, minIndex,sum=0;

	for (int i = 1; i < _vexNum; i++)

	{

		min = INT_MAX;

		for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//找到权值最小

		{

			if (lowCost[j] < min && lowCost[j]!=0)

			{

				min = lowCost[j];

				minIndex = j;

			}

		}

		cout << vertex[adjIndex[minIndex]] << "------>" << vertex[minIndex] << endl;

		sum += min;

		lowCost[minIndex] = 0;

		adjIndex[minIndex] = 0;

		for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//更新lowCost和adjIndex数组

		{

			if (graph[minIndex][j] < lowCost[j])

			{

				lowCost[j] = graph[minIndex][j];

				adjIndex[j] = minIndex;

			}

		}

	}

	delete []lowCost;

	delete []adjIndex;

	return sum;

}

以上代码所构建的图为：

执行例如以下：

二：Kruskal算法

1.概览

Kruskal克鲁斯卡尔算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。

用来解决相同问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。

和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描写叙述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中同样的e个顶点。但没有边

3).将原图Graph中全部e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边開始遍历每条边。直至图Graph中全部的节点都在同一个连通分量中，if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中。加入这条边到图Graphnew中。

3.图例描写叙述

首先第一步。我们有一张图Graph。有若干点和边

将全部的边的长度排序。用排序的结果作为我们选择边的根据。

这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序。对局部最优的资源进行选择，排序完毕后。我们领先选择了边AD。

这样我们的图就变成了左图

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。

这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF。AB，BE。

以下继续选择， BC或者EF虽然如今长度为8的边是最小的未选择的边。可是如今他们已经连通了（对于BC能够通过CE,EB来连接，类似的EF能够通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不须要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。

当然我们选择了EG。最后成功的图就是左图：

4.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对随意n阶图适用。

归纳基础：

n=1。显然可以找到最小生成树。

归纳过程：

如果Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中。我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就行得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)。G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法：

如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包括<u,v>。否则，能够用<u,v>增加到T中，形成一个环，删除环上原有的随意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}。是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是如果不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树。Kruskal算法对k+1阶图也适用。由数学归纳法，Kruskal算法得证。

代码实现：

下面代码使用了并查集，关于并查集内容，请參考： http://blog.csdn.net/laojiu_/article/details/50769868

#include<iostream>

#include<algorithm>

using namespace std;

struct Edge//表示一条边

{

	int u;//起始顶点

	int v;//结尾顶点

	int w;//该边的权值

};

bool cmp(Edge edge1, Edge edge2)

{

	return (edge1.w < edge2.w);

}

Edge* edge;//存储边的数组

int* father;

int vexNum, arcNum;//顶点数。边数

int Kruskal();

int Find(int x);

void Join(int x, int y);

int main()

{

/*

6 10

0 1 6

0 2 1

0 3 5

1 2 5

1 4 3

3 2 5

3 5 2

2 5 4

2 4 6

4 5 6

*/

	cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";

	cin >> vexNum >> arcNum;

	father = new int[vexNum];

	for (int i = 0; i < vexNum; i++)

		father[i] = i;

	cout << "请输入" << arcNum << "条边的信息:\n";

	edge = new Edge[arcNum];

	for (int i = 0; i < arcNum; i++)

		cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w;

	cout << Kruskal() << endl;

	delete[]edge;

	delete[]father;

	return 0;

}

int Find(int x)

{

	return (x == father[x]) ? x : Find(father[x]);

}

void Join(int x, int y)

{

	int root_x = Find(x);

	int root_y = Find(y);

	if (root_x != root_y)

		father[root_x] = root_y;

}

int Kruskal()

{

	int sum = 0;//最小路径权值和

	int finished = 0;//最小生成树的边数应该是顶点数-1,在此设置变量标记是否完毕

	sort(edge, edge + arcNum, cmp);

	for (int i = 0; i < arcNum&&finished < vexNum - 1; i++)

	{

		int root_u = Find(edge[i].u);

		int root_v = Find(edge[i].v);

		if (root_u != root_v)

		{

			Join(edge[i].u, edge[i].v);

			finished++;

			cout << edge[i].u << "----->" << edge[i].v << endl;

			sum += edge[i].w;

		}

	}

	return sum;

}

数据測试在代码里，方便读者測试程序的正确性。如有错误。请指出，感谢！

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參考链接和图片资源来自：

严蔚敏的数据结构。

http://blog.csdn.net/yeruby/article/details/38615045。

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html。

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