[NOI2014]随机数生成器题解

2024-03-18 21:28:16

时间限制	内存限制
1.00s ~ 5.00s	250.00MB

题目描述

小 H 最近在研究随机算法。随机算法往往需要通过调用随机数生成函数（例如 Pascal 中的 random 和 C/C++中的 rand）来获得随机性。事实上，随机数生成函数也并不是真正的“随机”，其一般都是利用某个算法计算得来的。
比如，下面这个二次多项式递推算法就是一个常用算法：
算法选定非负整数$x_0,a,b,c,d$作为随机种子，并采用如下递推公式进行计算。
对于任意$i \geq 1$ $x_i==(a×x+b×x_{i-1}^2+c) mod $d$ 这样可以得到一个任意长度的非负整数数列 ${x_i,i\geq1}$，一般来说，我们认为这个数列是随机的。
利用随机序列${xi},i\geq1$，我们还可以采用如下算法来产生一个$1$到 $K$ 的随机排列${T_i},i=1...k$
1、初始设$T$为$1$到$K$的递增序列；
2、对$T$进行$K$次交换，第$i$次交换，交换$T_i$和$T_{x_i}$_mod $_{i+1}$
此外，小 H 在这$K$次交换的基础上，又额外进行了$Q$次交换操作，对于第i 次额外交换，小 H 会选定两个下标$u_i和v_i$,并交换$T_{v_i}和T_{v_i}$的值
为了检验这个随机排列生成算法的实用性，小 H 设计了如下问题：
小 H 有一个 N 行 M 列的棋盘，她首先按照上述过程，通过$N \times M + Q$次交换操作，生成了一个$1\sim N \times M∼N\times M$的随机排列,$T_i,i=1...N \times M$。然后将这$N \times M$个数逐行逐列依次填入这个棋盘：也就是第$i$行第$j$列的格子上所填入的数应为$T_{(i-1)\times M+u_j}$。
接着小 H 希望从棋盘的左上角，也就是第一行第一列的格子出发，每次向右走或者向下走，在不走出棋盘的前提下，走到棋盘的右下角，也就是第 $N$行第$M$列的格子。
小 H 把所经过格子上的数字都记录了下来，并从小到大排序，这样，对于任何一条合法的移动路径，小 H 都可以得到一个长度为$N + M - 1$的升序序列，我们称之为路径序列。
小 H 想知道，她可能得到的字典序最小的路径序列应该是怎样的呢？

输入格式

第1行包含5个整数，依次为$x_0,a,b,c,d$描述小H采用的随机数生成算法所需的随机种子。
第2行包含三个整数$N,M,Q$表示小H希望生成一个1到$N \times M$ 的排列来填入她$N$行$M$列的棋盘，并且小H在初始的$N \times M$次交换操作后，又进行了$Q$次额外的交换操作。
接下来$Q$行，第$i$行包含两个整数$u_i,v_i$，表示第$i$次额外交换操作将交换$T_{u_i},T_{v_i}$的值。

输出格式

输出一行，包含$N+M-1$个由空格隔开的正整数，表示可以得到的字典序最小的路径序列。

输入输出样例

输入
1 3 5 1 71
3 4 3
1 7
9 9
4 9
输出
1 2 6 8 9 12

数据范围

题解内容

~~终于把题目写完了，markdown写了半个多小时~~
前面blablabla讲了~~一大堆废话~~
一句话讲，就是教你怎么生成一个随机函数，代码直接按照它的做法写下来，注意数据范围，要加$long long$不然会直接RE就像我一样：

炸$int$了，所以加上$long long$强制转换，就可以了~~~~~~

    scanf("%d%d%d%d%d",&x[0],&a,&b,&c,&d);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	int s=n*m;
	int i,j,tmp,tmps;
    for(i=1;i<=s+1;i++)
        x[i]=((long long)a*x[i-1]*x[i-1]+(long long)b*x[i-1]+c)%d;
    for(i=1;i<=s;i++) t[i]=i;//注意这里的(longlong)，不加会炸掉的
    for(i=1;i<=s;i++){
    	tmps=x[i]%i+1;
    	tmp=t[i];
    	t[i]=t[tmps];
		t[tmps]=tmp;
	}
    for(i=1;i<=q;i++){
    	scanf("%d%d",&a,&b);
    	tmp=t[a];
    	t[a]=t[b];
    	t[b]=tmp;
	}

重头戏在后面，明显是一道贪心，优先考虑1，然后是2，明显最外层的循环是：

for(int i=1;i<=n*m;i++)

当然，~~register加不加都可以的~~
然后就是空间上了，这题的空间开两个$5000\times5000$的数组是足够的，但是，建议使用一维数组，同时，如果需要三个这样的数组，可以把另一个不需要的数组拿来用，记得清空。

我的做法是先开一个数组来记录总每个数字的编码，位置编码如下：

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12

用数组$x_i$来表示第$i$个数的位置，然后建立两个数组down和up，如果取了一个数，就在上面做标记。比如说当6号位被取之后，那么9号位、3号位、4号位就不能取了，其中，$up_i,down_i$表示第$i$列可行的区间即可。每次枚举的时候就可以判定，如果可以，就更新，如果不可以就直接跳过。
这道题目需要很多的细节，所以，经过反复调试，终于，推出了AC代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define maxn 5000*5000+39
using namespace std;
int t[maxn],x[maxn];
int up[5039],down[5039];
int a,b,c,d,n,m,q;
int main(){
	scanf("%d%d%d%d%d",&x[0],&a,&b,&c,&d);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	int s=n*m;
	int i,j,tmp,tmps;
    for(i=1;i<=s+1;i++)
        x[i]=((long long)a*x[i-1]*x[i-1]+(long long)b*x[i-1]+c)%d;
    for(i=1;i<=s;i++) t[i]=i;
    for(i=1;i<=s;i++){
    	tmps=x[i]%i+1;
    	tmp=t[i];
    	t[i]=t[tmps];
		t[tmps]=tmp;
	}
    for(i=1;i<=q;i++){
    	scanf("%d%d",&a,&b);
    	tmp=t[a];
    	t[a]=t[b];
    	t[b]=tmp;
	}//Insize t
	for(i=1;i<=s;i++)
	    x[t[i]]=i;
	for(i=1;i<=m;i++)
	    up[i]=0,down[i]=n+1;//Insize up and down
	int line,row;
	for(i=1;i<=s;i++){
		line=ceil(1.0*x[i]/m);
		if(x[i]%m==0)
		    row=m;
		else row=x[i]%m;//line  行 row 列 
		if(up[row]<line&&line<down[row]){
			printf("%d ",i);
			for(j=1;j<=row-1;j++)
			    down[j]=min(down[j],line+1);
			for(j=row+1;j<=m;j++)
			    up[j]=max(line-1,up[j]);
		}
	}
	return 0;
}

码农公寓