课件：Lecture 2: Markov Decision Processes
视频：David Silver深度强化学习第2课 - 简介 (中文字幕)
马尔可夫过程
马尔可夫决策过程简介
马尔可夫决策过程(Markov Decision Processes, MDPs)形式上用来描述强化学习中的环境.
其中,环境是完全可观测的(fully observable),即当前状态可以完全表征过程.
几乎所有的强化学习问题都能用MDPs来描述：
- 最优控制问题可以描述成连续MDPs;
- 部分观测环境可以转化成MDPs;
- 赌博机问题是只有一个状态的MDPs.
马尔可夫性质
马尔科夫性质(Markov Property)表明: 未来只与现在有关,而与过去无关.
状态转移矩阵
对于一个马尔可夫状态\(S\)及其后继状态\(S'\),其状态转移概率由下式定义:
\[
\mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } = \mathbb { P } \left[ S _ { t + 1 } = s ^ { \prime } | S _ { t } = s \right]
\]
状态转移矩阵(State Transition Matrix)\(\mathcal{P}\)定义了从所有状态\(S\)转移到所有后继状态\(S'\)的概率.
\[ \mathcal { P } = \left[ \begin{array} { c c c } { \mathcal { P } _ { 11 } } & { \dots } & { \mathcal { P } _ { 1 n } } \\ { \vdots } & { } & { } \\ { \mathcal { P } _ { n 1 } } & { \cdots } & { \mathcal { P } _ { n n } } \end{array} \right] \]
其中,\(n\)为状态个数,且矩阵的每行和为1.
马尔可夫过程
马尔可夫过程(Markov Process)是一个无记忆的随机过程(memoryless random process).
即,随机状态\(S_1, S_2, \dots\)序列具有马尔可夫性质.
马尔可夫过程(或马尔可夫链)是一个二元组\(<\mathcal{S}, \mathcal{P}>\)
- \(\mathcal{S}\): (有限)状态集
- \(\mathcal{P}\): 状态转移概率矩阵, \(\mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } = \mathbb { P } \left[ S _ { t + 1 } = s ^ { \prime } | S _ { t } = s \right]\)
圆圈代表状态, 箭头代表状态之间的转移, 数值代表转移概率.
状态转移矩阵\(\mathcal{P}\)如下:
\[
{\mathcal P} =\begin{bmatrix} & C1 & C2 & C3 & Pass & Pub & FB & Sleep\\ C1 & &0.5 & & & & 0.5 & \\ C2 & & & 0.8 & & & &0.2\\ C3 & & & & 0.6& 0.4& &\\ Pass & & & & & & &1.0\\ Pub &0.2 & 0.4& 0.4 & & & &\\ FB &0.1 & & & & & 0.9 &\\ Sleep & & & & & & &1.0 \end{bmatrix}
\]
马尔可夫奖励过程
马尔可夫奖励过程(Markov Reward Process, MRP)是带有奖励的马尔可夫链.
马尔可夫奖励过程是一个四元组<\(\mathcal{S}\), \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{R}\), \(\mathcal{\gamma}\)>
- \(\mathcal{S}\): (有限)状态集
- \(\mathcal{P}\): 状态转移概率矩阵, \(\mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } = \mathbb { P } \left[ S _ { t + 1 } = s ^ { \prime } | S _ { t } = s \right]\)
- \(\mathcal{R}\): 奖励函数, \(\mathcal { R } _ { s } = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } | S _ { t } = s \right]\)
- \(\gamma\): 折扣因子, \(\gamma \in [ 0,1 ]\)
回报
回报(Return) \(G_t\) 是从时间 \(t\) 开始的总折扣奖励.
\[ G _ { t } = R _ { t + 1 } + \gamma R _ { t + 2 } + \ldots = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { k } R _ { t + k + 1 } \]
- 折扣因子 \(\gamma \in [ 0,1 ]\) 表示未来的奖励在当前的价值. 由于未来的奖励充满不确定性, 因此需要乘上折扣因子;
- \(\gamma\) 接近 \(0\) 表明更注重当前的奖励(myopic);
- \(\gamma\) 接近 \(1\) 表明更具有远见(far-sighted).
值函数
值函数(Value Function) \(v(s)\) 表示一个状态 \(s\) 的长期价值(long-term value).
一个马尔可夫奖励过程(MRP)的状态值函数 \(v(s)\)是从状态 \(s\) 开始的期望回报.
\[v ( s ) = \mathbb { E } \left[ G _ { t } | S _ { t } = s \right]\]
MRPs的贝尔曼方程
值函数可以被分解为两部分:
- 立即奖励 \(R_{t+1}\)
- 后继状态的折扣价值 \(\gamma v(S_{t+1})\)
\[ \begin{aligned} v ( s ) & = \mathbb { E } \left[ G _ { t } | S _ { t } = s \right] \\ & = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } + \gamma R _ { t + 2 } + \gamma ^ { 2 } R _ { t + 3 } + \ldots | S _ { t } = s \right] \\ & = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } + \gamma \left( R _ { t + 2 } + \gamma R _ { t + 3 } + \ldots \right) | S _ { t } = s \right] \\ & = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } + \gamma G _ { t + 1 } | S _ { t } = s \right] \\ & = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } | S _ { t } = s \right] + \mathbb { E } \left[ \gamma G _ { t + 1 } | S _ { t } = s \right]\\ & = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } | S _ { t } = s \right] + \gamma v \left( S _ { t + 1 } \right)\\ & = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } + \gamma v \left( S _ { t + 1 } \right) | S _ { t } = s \right] \end{aligned} \tag{1} \label{eq:mrp-bellman-equation} \]
上式表明, \(t\) 时刻的状态 \(S_t\) 和 \(t+1\) 时刻的状态 \(S_{t+1}\) 的值函数之间满足递推关系.
该递推式也称为贝尔曼方程(Bellman Equation).
如果已知概率转移矩阵 \(\mathcal{P}\), 则可将公式\eqref{eq:mrp-bellman-equation}变形为:
\[ v ( s ) = \mathcal { R } _ { s } + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } \in \mathcal { S } } \mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } v \left( s ^ { \prime } \right) \tag{2} \label{eq:mrp-bellman-equation-2} \]
例子:
贝尔曼方程的矩阵形式:
可将公式\eqref{eq:mrp-bellman-equation-2}改写为矩阵形式:
\[ v = \mathcal { R } + \gamma \mathcal { P } v \]
其中, \(v\) 为一个列向量, 向量的元素为每个状态的值函数.
\[ \left[ \begin{array} { c } { v ( 1 ) } \\ { \vdots } \\ { v ( n ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \mathcal { R } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathcal { R } _ { n } } \end{array} \right] + \gamma \left[ \begin{array} { c c c } { \mathcal { P } _ { 11 } } & { \ldots } & { \mathcal { P } _ { 1 n } } \\ { \vdots } & { } & { } \\ { \mathcal { P } _ { n1 } } & { \ldots } & { \mathcal { P } _ { n n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { v ( 1 ) } \\ { \vdots } \\ { v ( n ) } \end{array} \right] \]
观测贝尔曼方程的矩阵形式, 可知其为线性方程, 可直接求解如下.
\[ \begin{aligned} v & = \mathcal { R } + \gamma \mathcal { P } v \\ ( I - \gamma \mathcal { P } ) v & = \mathcal { R } \\ v & = ( I - \gamma \mathcal { P } ) ^ { - 1 } \mathcal { R } \end{aligned} \]
计算复杂度为: \(\mathcal{O}(n^3)\). 因此, 只适合直接求解小规模的MRP问题.
对于大规模的MRP问题, 通常采取以下的迭代方法:
- 动态规划(Dynamic programming)
- 蒙特卡洛评估(Monte-Carlo evaluation)
- 时序差分学习(Temporal-Difference learning)
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程(Markov Decision Process, MDP)是带有决策的马尔可夫奖励过程.
马尔可夫决策过程是一个五元组<\(\mathcal{S}\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{R}\), \(\mathcal{\gamma}\)>
- \(\mathcal{S}\): 有限的状态集
- \(\mathcal{A}\): 有限的动作集
- \(\mathcal{P}\): 状态转移概率矩阵, \(\mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } ^ {a}= \mathbb { P } \left[ S _ { t + 1 } = s ^ { \prime } | S _ { t } = s, A _ { t } = a \right]\)
- \(\mathcal{R}\): 奖励函数, \(\mathcal { R } _ { s } ^ {a} = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } | S _ { t } = s, A _ { t } = a \right]\)
- \(\gamma\): 折扣因子, \(\gamma \in [ 0,1 ]\)
例子:
策略
策略(Policy) \(\pi\) 是给定状态的动作分布.
\[ \pi ( a | s ) = \mathbb { P } \left[ A _ { t } = a | S _ { t } = s \right] \]
- 策略完全决定智能体的行为;
- MDP策略值依赖于当前状态(无关历史);
- 策略是固定的(与时间无关). \(A _ { t } \sim \pi ( \cdot | S _ { t } ) , \forall t > 0\)
给定一个马尔可夫决策过程 \(M = <\mathcal{S},\mathcal{A}, \mathcal{P}, \mathcal{R}, \mathcal{\gamma}>\) 和 一个策略 \(\pi\), 其可以转化为马尔可夫过程和马尔可夫奖励过程.
状态序列 \(S_1, S_2, \dots\) 是马尔科夫决策过程 \(<\mathcal{S}, \mathcal{P}^{\pi}>\).
状态和奖励序列 \(S_1, R_2, S_2, \dots\) 是马尔科夫奖励过程 \(<\mathcal{S}, \mathcal{P}^{\pi}, \mathcal{R}^{\pi}, \gamma>\).
其中,
\[ \mathcal{P}_{s,s'}^{\pi} = \sum \limits_{a \in \mathcal{A}} \pi (a | s) \mathcal{P}_{ss'}^{a} \]
\[ \mathcal{R}_{s}^{\pi} = \sum \limits_{a \in \mathcal{A}} \pi (a | s) \mathcal{R}_{s}^{a} \]
值函数
值函数(Value Function)可分为状态值函数(state-value function)和动作值函数(action-value function).
MDP的状态值函数 \(v_{\pi}(s)\) 是从状态 \(s\) 开始, 然后按照策略 \(\pi\) 决策所获得的期望回报.
\[v_{\pi}(s) = \mathbb{E}_{\pi} \left[ G_t | S_t = s \right]\]
MDP的动作值函数 \(q_{\pi}(s, a)\) 是从状态 \(s\) 开始, 采取动作 \(a\), 然后按照策略 \(\pi\) 决策所获得的期望回报.
\[q_{\pi}(s, a) = \mathbb{E}_{\pi} \left[ G_t | S_t = s, A_t = a \right]\]
贝尔曼期望方程
状态值函数可以被分解为两部分, 立即奖励 + 后继状态的折扣价值.
\[ v_{\pi}(s) = \mathbb{E}_{\pi} \left[ R_{t+1} + \gamma v_{\pi}(S_{t+1}) | S_t = s \right] \]
动作值函数也可以类似地分解.
\[ q_{\pi}(s, a) = \mathbb{E}_{\pi} \left[ R_{t+1} + \gamma q_{\pi}(S_{t+1}, A_{t+1}) | S_t = s, A_t = a \right] \]
上图中, 空心圆圈代表状态, 实心圆圈代表动作.
在已知策略 \(\pi\) 的情况下, 状态值函数 \(v_{\pi}(s)\) 可以用动作值函数 \(q_{\pi}(s, a)\) 进行表示:
\[ v_{\pi}(s) = \sum \limits_{a \in \mathcal{A}} \pi(a | s) q_{\pi}(s, a) \tag{3} \label{eq:mdp-state-value-function} \]
同理, 动作值函数 \(q_{\pi}(s, a)\) 也可以用状态值函数 \(v_{\pi}(s)\) 进行表示:
\[ q_{\pi}(s, a) = \mathcal{R}_{s}^{a} + \gamma \sum \limits_{s' \in \mathcal{S}} \mathcal{P}_{ss'}^{a}v_{\pi}(s') \tag{4} \label{eq:mdp-action-value-function} \]
状态值函数的贝尔曼期望方程:
将公式\eqref{eq:mdp-action-value-function}代入公式\eqref{eq:mdp-state-value-function}中, 可得状态值函数的贝尔曼期望方程:
\[ v_{\pi}(s) = \sum \limits_{a \in \mathcal{A}} \pi (a | s) \left( \mathcal{R}_{s}^{a} + \gamma \sum \limits_{s' \in \mathcal{S}} \mathcal{P}_{ss'}^{a} v_{\pi}(s') \right) \]
动作值函数的贝尔曼期望方程:
将公式\eqref{eq:mdp-state-value-function}代入公式\eqref{eq:mdp-action-value-function}中, 可得动作值函数的贝尔曼期望方程:
\[ q_{\pi}(s, a) = \mathcal{R}_{s}^{a} + \gamma \sum \limits_{s' \in \mathcal{S}} \mathcal{P}_{ss'}^{a} \sum \limits_{a' \in \mathcal{A}} \pi (a' | s') q_{\pi}(s', a') \]
例子:
贝尔曼期望方程的矩阵形式:
\[ v_{\pi} = \mathcal{R}^{\pi} + \gamma \mathcal{P}^{\pi} v_{\pi} \]
可直接求解:
\[ v_{\pi} = (I - \gamma \mathcal{P}^{\pi})^{-1} \mathcal{R}^{\pi} \]
最优值函数
最优状态值函数(optimal state-value function) \(v_{*}(s)\) 是所有策略中最大的值函数.
\[ v_{*}(s) = \max \limits_{\pi}v_{\pi}(s) \]
最优动作值函数(optimal action-value function) \(v_{*}(s)\) 是所有策略中最大的动作值函数.
\[ q_{*}(s, a) = \max \limits_{\pi}q_{\pi}(s, a) \]
- 最优值函数代表了MDP的最好性能.
- 当得知最优值函数时, MDP可被认为"已解决".
例子:
例子:
注: 根据公式\eqref{eq:mdp-state-value-function}, Pub动作的最优值应为 \(q_{*} = +1 + (0.2 \times 6 + 0.4 \times 8 + 0.4 \times 10) = 9.4\).
最优策略
首先定义策略之间的偏序关系, 使得策略之间可以进行比较:
\[ \pi \geq \pi ' \quad \text{if} \quad v_{\pi}(s) \geq v_{\pi '}(s) , \forall s \]
对于任意的MDP来说:
- 存在一个最优策略 \(\pi_{\*}\), 使得 \(\pi_{\*} \geq \pi, \forall \pi\)
- 所有的最优策略都能取得最优值函数 \(v_{\pi_{\*}}(s) = v_{\*}(s)\)
- 所有的最优策略都能取得最优动作值函数 \(q_{\pi_{\*}}(s, a) = v_{\*}(s, a)\)
寻找最优策略
一个最优策略可以通过最大化所有的 \(q_{\*}(s, a)\) 得到:
\[ \pi_{*} \left( a | s \right) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 \ if \ a = \operatorname*{argmax} \limits_{a \in \mathcal{A}} \ q_{*} \left( s,a \right) \\ 0 \ otherwise \end{array} \right. \]
- 对于任意的MDP, 总存在确定的最优策略
- 如果我们知道 \(q_{\*}(s, a)\), 则可以立即得到最优策略
例子:
图中红色弧线表示每个状态的最优决策.
贝尔曼最优方程
\(v_{\*}\)可以通过贝尔曼最优方程递归得到:
\[ v_{*}(s) = \max \limits_{a} q_{*}(s, a) \tag{5} \label{eq:state-bellman-optimal-equation} \]
与公式\eqref{eq:mdp-state-value-function}的贝尔曼期望方程进行比较, 此时不再取均值, 而是取最大值.
\(q_{\*}\)与公式\eqref{eq:mdp-action-value-function}类似:
\[ q _ { * } ( s , a ) = \mathcal { R } _ { s } ^ { a } + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } \in \mathcal { S } } \mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } ^ { a } v _ { * } \left( s ^ { \prime } \right) \tag{6} \label{eq:action-bellman-optimal-equation} \]
状态值函数的贝尔曼最优方程
将公式\eqref{eq:action-bellman-optimal-equation}代入公式\eqref{eq:state-bellman-optimal-equation}可得 \(v_{*}\) 的贝尔曼最优方程:
\[ v _ { * } ( s ) = \max _ { a } \mathcal { R } _ { s } ^ { a } + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } \in \mathcal { S } } \mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } ^ { a } v _ { * } \left( s ^ { \prime } \right) \]
动作值函数的贝尔曼最优方程
将公式\eqref{eq:state-bellman-optimal-equation}代入公式\eqref{eq:action-bellman-optimal-equation}可得 \(q_{*}\) 的贝尔曼最优方程:
\[ q _ { * } ( s , a ) = \mathcal { R } _ { s } ^ { a } + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } \in \mathcal { S } } \mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } ^ { a } \max _ { a ^ { \prime } } q _ { * } \left( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } \right) \]
例子:
贝尔曼最优方程的求解
贝尔曼最优方程不是线性的(因为有取\(max\)操作), 因此没有封闭解(Closed-form solution).
通常采用迭代求解方法:
- 值迭代(Value Iteration)
- 策略迭代(Policy Iteration)
- Q-Learning
- Sarsa
MDP的扩展
- 无穷和连续的MDPs
- 部分可观测的MDPs
- 不折扣, 平均奖励MDPs