本文中，我们主要讨论一下凸函数什么时候可以取到最小值(通常这么讨论哈，可以是最大值)。

老规矩，首先给出结论分为两种情况：

凸函数取最小值，的条件为：

这个条件的意思是什么呢？

意思是 要么0 在次梯度集合中， 要么 负梯度方向在不可行方向集合中。

具体的，第一个条件，我们先简单证明一下。

如果函数 存在次梯度，更具凸函数定义2

如果

，即次梯度能取0

则 恒成立，则此时函数值最小

 上述情况对于x1 点是比较容易理解的，因为x1 这里所有方向都是可行方向。

但是对于x2这一点而言，其实想要x2是最优点，那么我们只需要得到 负梯度方向在 蓝色弧形区域就可以了。 其中红色弧形区域是x2这一点的 可行方向， 称为切锥。 蓝色弧形则是 法锥， 用表示。 因此在x2 这一点，我们需要的最优性条件为

其中 负梯度方向是函数下降方向。这个条件的意义为 没有下降方向了，那么意思就是函数不能减小了。因此x2 是最优点