02-凸函数
1 基本性质和例子
[凸函数] 一个函数 \(f: R^n\rightarrow R\) 是凸的，如果定义域 \(dom\,f\) 是凸集，并且对于所有 \(x,y\in f, \theta\leq 1\) ，我们有 \(f(\theta x+(1-\theta)y)\leq \theta f(x)+(1-\theta)f(y).\)
几何解释：点 \((x,f(x))\) 和 \((y,f(y))\) 之间的线段在 \(f\) 对应的图像上方。
- 函数 \(f\) 是严格凸的，如果以上不等式在 \(x\ne y\) ，且 \(0<\theta <1\) 时也成立.
- 函数 \(f\) 是凹的，当 \(-f\) 是凸的，严格凹，当 \(-f\) 是严格凸的。
- 仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹又凸的函数是仿射的。
- 一个函数是凸的当且仅当对任意 \(x\in dom\,f\) 和任意 \(v\) ，函数 \(g(t)=f(x+tv)\) 是凸的， \(\{t|x+tv\in dom\,f\}.\)
[扩展值] 将凸函数扩展到整个 \(R^n\) ，通常令它在定义域之外取 \(\infty\) 。如果 \(f\) 是凸函数那么它的拓展为 \(\widetilde{f} : R^n\rightarrow R \cup \{\infty\}\) ,
\(\widetilde{f}(x)=\left \{\begin{aligned} f(x)\;\; x\in domf\\ \infty\;\; x\not\in domf \end{aligned}\right.\)
[一阶条件] 令函数 \(f\) 是可微的（也就是它的梯度 \(\nabla f\) 在开集 \(domf\) 的每个点上都存在）。那么 \(f\) 是凸的，当且仅当 \(domf\) 是凸的，并且对所有的 \(x,y\in domf\) 有：
\(f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^T(y-x).\)
在每个点上，函数图像都高于在该点的切线。
解释：\(y\) 的仿射函数 \(f(x)+\nabla f(x)^T(y-x)\) 是 \(f\) 在靠近 \(x\) 处的一阶泰勒近似。上述不等式表达了这个一阶泰勒近似是函数的全局下限（global underestimator），反过来，如果函数的一阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。
- 如果 \(\nabla f(x)=0\) ,那么对于所有 \(y\in domf\) ，有 \(f(y)\geq f(x)\) ， 也就是在 \(x\) 处 \(f\) 取到全局最小值（ \(x\) is a global minimizer of \(f\) ）。
- \(f\) 是严格凸的，当且仅当 \(domf\) 是凸的，且对于所有 \(x,y\in domf, x\ne y\) 有 \(f(y)>f(x)+\nabla f(x)^T(y-x).\)
- \(f\) 是凹的，当且仅当 \(domf\) 是凸的，并且 \(f(y)\leq f(x)+\nabla f(x)^T(y-x),\)\(\forall x,y\in domf.\)
[二阶条件] 设函数 \(f\) 是二阶可微的，也就是它在开集 \(domf\) 的每个点上都存在二阶导数 \(\nabla^2 f\) 。那么 \(f\) 是凸的，当且仅当它的二阶导数是半正定的：
\(\forall x\in domf\) , \(\nabla^2f(x)\succeq 0\) .
几何解释：函数图像在每个定义域的每个点上都有正的曲率(curvature)。
- 函数 \(f\) 是凹的，当且仅当 \(domf\) 是凸的，并且 \(\nabla^2f(x)\preceq 0\) , \(\forall x\in domf\)
- 如果 \(\forall x\in domf\) , \(\nabla^2f(x)\succ 0\) ，那么 \(f\) 是严格凸的。反过来不成立，例如 \(f(x)=x^4\) 是严格凸的，但是在 \(x=0\) 处二阶导数为 \(0\) .
[例]
在 \(R\) 上：
- \(e^{ax} , \forall a\in R\) , 在 \(R\) 上凸。
- \(x^a,\) 当 \(a\geq 1\) 或 \(a\leq 0\) ，在 \(R_{++}\) 上凸，当 \(0\leq a\leq 1\) 时凹。
- | \(x|^p\) , \(p\geq 1\) ，在R上凸。
- \(log\;x\) ，在 \(R_{++}\) 上凸 。
- 负熵 \(x log \; x\) ，在 \(R_+\) 和 \(R_{++}\) 上凸。
在 \(R^n\) 上：
- 范数，凸
- 最大值函数，凸
- Quadratic-over-linear 函数： \(f(x,y)=x^2/y\) , \(domf=R\times R_{++}=\{(x,y)\in R^n| y>0\}\) ，凸。
- \(f(x)=log(e^{x_1}+...+e^{x_n})\) ，凸
- 几何平均 \(f(x)=(\prod^n_{i=1}x_i)^{1/n}\) ，在 \(R^n_{++}\) 上凹。
- \(f(X)=log\; detX\) ，在 \(S^n_{++}\) 上凹。
[下水平集 sublevel set] 函数 \(f:R^n\rightarrow R\) 的一个 \(\alpha\) -下水平集是
\(C_{\alpha}=\{x\in domf | f(x)\leq \alpha\}\) .
- 凸函数的下水平集是凸集，对于所有的 \(\alpha\) 。反过来不对，例如 \(f(x)=-e^x\) 在 \(R\) 上不是凸的，但是它的所有下水平集都是凸集。
- 凹函数的下水平集是凸集。
[上境图 epigraph] 一个函数 \(f:R^n\rightarrow R\) 的图像是 \(\{(x,f(x))|x\in dom f\}\) . 它是 \(R^{n+1}\) 的子集。定义函数 \(f\) 的
上境图: \(epi\; f = \{(x,t)| x\in dom f , f(x)\leq t\}\) .
下境图： \(hypo\;f = \{(x,t)| t\leq f(x)\}\) .
- 函数是凸的当且仅当它的上境图是一个凸集。
- 函数是凹的当且仅当它的下境图是一个凸集。
[Jensen不等式] 基本不等式 \(f(\theta x+(1-\theta)y)\leq \theta f(x)+(1-\theta)f(y)\) 有时被叫做Jensen不等式。
- 它可以拓展到多个点的凸组合：
如果 \(f\) 是凸的， \(x_1,...,x_k\in domf, \theta_1,...,\theta_k \geq 0\) , \(\theta_1+...+\theta_k=1\) 那么
\(f(\theta_1x_1+...+\theta_kx_k)\leq \theta_1 f(x_1)+...+\theta_k f(x_k)\) .
- 还可以拓展到无限和，积分，期望：
积分：如果 \(p(x)\geq 0\) 在 \(S\subseteq domf\) 上， \(\int_{S} p(x) dx =1\) ，那么 \(f(\int_{S} p(x) dx)\leq \int_S f(x) p(x) dx\) .
期望：如果 \(x\) 是随机变量 \(x\in dom f\) ，且 \(f\) 是凸函数，那么有 \(f(Ex)\leq E f(x)\) .
2 保留凸性的运算
[非负加权和] 如果 \(f_1,...,f_m\) 是凸函数，他们的集合是一个凸锥——凸函数的非负加权和 \(f=w_1f_1+...+w_mf_m， (w_1,...,w_m\geq 0)\) 是凸的。
- 还可以拓展到积分：如果 \(f(x,y)\) 对于x是凸的，对于每个 \(y\in A\) ，且w(y)\geq 0, \(\forall y\in A\) ，那么函数 \(g(x)=\int_A w(y)f(x,y)dy\) 对于 \(x\) 是凸的。
[与仿射函数的复合] 令 \(f:R^n\rightarrow R\) , \(A\in R^{n\times m}\) , \(b\in R\) 。定义 \(g:R^m\rightarrow R\) 为
\(g(x)=f(Ax+b)\) , \(domg=\{a| Ax+b\in domf\}\) .
那么如果 \(f\) 是凸函数， \(g\) 也是凸函数。
[逐点最大 pointwise maximum] 如果 \(f_1,f_2\) 是凸函数，那么他们的逐点最大 \(f\) ，定义为
\(f(x)=max\{f_1(x),f_2(x)\}\) , 定义域 \(domf=domf_1\cap domf_2\)
也是凸集。可以拓展到多个凸函数的逐点最大。
[逐点上确界 pointwise supremum] 如果对于每个 \(y\in A\) , \(f(x,y)\) 关于 \(x\) 是凸的，那么函数
\(g(x)=\underset {y\in A}{sup} \,f(x,y)\)
关于 \(x\) 是凸的。 \(g\) 的定义域是
\(dom g=\{x|(x,y)\in dom f, \forall y\in A, \underset{y\in A}{sup}f(x,y)<\infty\}\) .
- 类似地，一组凹函数的逐点下确界是凹函数。
- \(epi\, g =\bigcap _ {y\in A}epi \, f(\cdot,y)\) .
[最小化] 如果 \(f\) 关于 \((x,y)\) 是凸函数，并且 \(C\) 是非空凸集，那么函数
\(g(x)=\underset{g\in C}{inf}\, f(x,y)\)
是关于 \(x\) 的凸函数，对于所有的 \(x\) 有 \(g(x)>-\infty\) 的定义域是 \(domf\) 到 \(x\) 轴的投影：
\(dom g=\{x| (x,y)\in domf, for some y\in C\}\) .
[函数的透视] 函数 \(f: R^n\rightarrow R\) ， \(f\) 的透视函数为
\(g:R^{n+1}\rightarrow R\) ， \(g(x,t)=tf(x/t)\) ，
\(domg=\{(x,t)| x/t\in dom f, t>0\}\)
透视运算保存凸性：如果函数 \(f\) 是凸的，那么它的透视函数 \(g\) 也是凸的；如果 \(f\) 是凹的，那么 \(g\) 也是凹的。
3 共轭函数
[函数的共轭 conjugate] 令 \(f:R^n\rightarrow R\) 函数 \(f^* : R^n\rightarrow R\) 定义为
\(f^*(y)=\underset{x\in domf}{sup} (y^Tx-f(x))\) , 叫做函数 \(f\) 的共轭。
共轭函数的定义域 由使得上述上确界有限的 \(y, y\in R^n\) 组成。也就是说在 \(domf\) 上差 \(y^Tx-f(x)\) 是有界的。如图：
- 共轭函数 \(f^*\) 是凸的，因为它是关于 \(y\) 的凸函数的逐点上确界，这一点为真不论 \(f\) 是否是凸的。
[Fenchel不等式] 由共轭函数的定义，我们有
\(f(x)+f^*(y)\geq x^T y\) , \(\forall x,y\) ，叫做Fenchel不等式。
例如对于 \(f(x)=(1/2)x^TQx\) , \(Q\in S^n_{++}\) 有 \(x^Ty\leq (1/2)x^TQx+(1/2)y^TQ^{-1}y.\)
[共轭的共轭] 如果函数 \(f\) 是凸且闭的，那么 \(f^{**}=f\) .
[可微函数] 可微函数 \(f\) 的共轭，也叫做 \(f\) 的 Legendre变换。令 \(f\) 是凸且可微的， \(domf=R^n\) ，任意使 \(y^Tx-f(x)\) 取最大值的 \(x^*\) 都满足 \(y=\nabla f(x^*)\) 。
反过来如果 \(x^{*}\) 满足 \(y=\nabla f(x^*)\) ，那么 \(x^{*}\) 使得 \(y^Tx-f(x)\) 最大化。因此如果 \(y=\nabla f(x^*)\) 我们有：
\(f^*(y)=x^{*T} \nabla f(x^*)-f(x^*).\)
这允许我们能为任何 \(y\) 通过得到 \(f^*(y)\) 来解出梯度方程 \(y=\nabla f(z)\) 。
- 另一种表示，令 \(z\in R^n\) 是任意的，定义 \(y=\nabla f(z)\) , 那么有 \(f^*(y)=z^T\nabla f(z)-f(z)\) .
[伸缩变换，与仿射变换的复合] 对于 \(a>0,b\in R\) ，函数 \(g(x)=af(x)+b\) 的共轭是
\(g^*(y)=af^*(A^{-1}y)-b^TA^{-T}y\) . 定义域 \(domg^*=A^Tdomf^*.\)
[独立函数的和] 如果 \(f(u,v)=f_1(u)+f_2(v)\) ， \(f_1,f_2\) 都是凸函数，且有共轭 \(f_1^*,f_2^*，\) 那么 \(f^*(w,z)=f_1^*(w)+f_2^*(z).\)
也就是，独立凸函数的和的共轭，是函数的共轭的和。
4 拟凸函数
[拟凸 Quasiconvex] 函数 \(f: R^n\rightarrow R\) 是拟凸的，如果它的定义域和所有下水平集 \(S_{\alpha}=\{x\in domf | f(x)\leq \alpha\}\) , \(\alpha \in R\) 都是凸的。
- 一个函数是拟凹（quasiconcave）的，如果 \(-f\) 是拟凸的，也就是每个上水平集 \(\{x| f(x)\geq \alpha\}\) 是凸的。
- 如果一个函数既拟凸又拟凹，那么叫做拟线性（quasilinear）。如果一个函数是拟线性的那么它的定义域和每个下水平集 \(\{x| f(x)=\alpha\}\) 都是凸的.
[基本性质---不等式] 凸和拟凸有很多对应的性质，例如Jesen不等式的拟凸版本：一个函数 \(f\) 是拟凸的，当且仅当 \(domf\) 是凸的，且对任意 \(x\) ， \(0\leq \theta\leq 1\) 有
\(f(\theta x+(1-\theta)y)\leq max\{f(x),f(y)\}.\)
也就是定义域某一段上的函数值，不超过这段两端的函数值的最大值，如图：
[ \(R\) 上的拟凸函数] 考虑连续函数 \(f:R\in R\) 是拟凸的，当且仅当满足以下至少一个条件：
- \(f\) 是非减的
- \(f\) 是非增的
- 存在一个点 \(c\in domf\) 使得对于 \(t\leq c (t\in domf)\) ， \(f\) 是非增的，且当 \(t\geq c (t\in domf)\) ， \(f\) 是非减的。
\(c\) 是一个全局最小点：
[可微拟凸函数---一阶条件] 令 \(f: R^n\rightarrow R\) 是可微的，那么 \(f\) 是拟凸的当且仅当 \(domf\) 是凸的，并且 \(\forall x,y\in domf\) 有
\(f(y)\leq f(x) \Rightarrow \nabla f(x)^T(y-x)\leq 0.\)
[可微拟凸函数---二阶条件] 令 \(f\) 是二次可微的，如果 \(f\) 是拟凸的，那么 \(\forall x\in domf, y\in R^n\) 有
\(y^T\nabla f(x)=0\Rightarrow y^T\nabla^2 f(x)y\geq 0.\)
- 对于 \(R\) 上的拟凸函数 \(f\) ，条件简化为 \(f‘(x)=0\Rightarrow f‘‘(x)\geq 0.\) 也就是在斜率为 \(0\) 的坡的任意点上，二阶导数都是非负的。
[保留拟凸性的运算]
- 非负加权最大值： $f=max{w_1f_1,...,w_mf_m} ，w_i\geq 0, $$f_i$ 是拟凸函数。这个性质可以推广到逐点上确界。
- 复合：如果 \(g:R^n\rightarrow R\) 是拟凸函数， \(h:R\rightarrow R\) 是非减的，那么 \(f=h\circ g\) 是拟凸的。拟凸函数和仿射函数或线性-分数函数的复合也是一个拟凸函数。
- 最小化： \(f(x,y)\) 是拟凸函数， \(C\) 是一个凸集，那么函数 \(g(x)=\underset{y\in C }{inf}f(x,y)\) 是拟凸的。
[用一族凸函数表示] 用凸函数的不等式来表示拟凸函数 \(f\) 的下水平集。找一族凸函数 \(\phi_t:R^n\rightarrow R , t\in R\) 满足 \(f(x)\leq t\Leftrightarrow \phi_t(x)\leq 0.\)
也就是，拟凸函数 \(f\) 的 \(t\)-下水平集是凸函数 \(\phi_t\) 的 \(0\)-下水平集。
5 对数凹/对数凸函数
[对数凹/凸 log-concave/log-convex] 函数 \(f:R^n\rightarrow R\) 是对数凹的，如果 \(f(x)>0, \forall x\in domf\) 是凹的。
\(f\) 是对数凸的当且仅当 \(1/f\) 是对数凹的。
允许 \(f\) 取 \(0\) ， \(log\,f(x)=-\infty\) ，此时 \(f\) 是对数凹的，如果拓展值函数 \(log\,f\) 是凹的。
[用不等式表示] 函数 \(f:R^n\rightarrow R\) 带有凸定义域，并且 \(f(x)>0,\forall x\in domf\) 有：
\(f(\theta x+(1-\theta)y)\geq f(x)^{\theta}f(y)^{1-\theta}.\)
- 特别地，对数凹函数在两点的中点上的值，大于等于 两点上函数值的几何平均数。
[二次可微的对数凹/对数凸函数] 令 \(f\) 是二次可微的， \(domf\) 是凸集，那么有
\(\nabla^2 log f(x)=\frac{1}{f(x)}\nabla^2 f(x)-\frac{1}{f(x)^2}\nabla f(x)\nabla f(x)^T.\)
- \(f\) 是对数凸的，当且仅当 \(\forall x\in domf\) 有：
\(f(x)\nabla^2\succeq \nabla f(x)\nabla f(x)^T.\)
- \(f\) 是对数凹的，当且仅当 \(\forall x\in domf\) 有：
\(f(x)\nabla^2\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^T.\)
[加法，乘法，积分] 对数凸性和对数凹性对于加法和正标量乘法封闭。
- 如果 \(f(x,y)\) 对于所有的 \(y\in C\) 关于 \(x\) 对数凸, 那么 \(g(x)=\int_C f(x,y) dy\) 是对数凸的
[对数凹函数的积分] 在某些特殊情况中积分保留对数凹性。如果 \(f:R^n\times R^m\rightarrow R\) 是对数凹的，那么 \(g(x)= \int f(x,y)dy\) 是关于 \(x\) 的对数凹函数。
- 这说明对数凹性在卷积下封闭，也就是如果 \(f,g\) 是 \(R^n\) 上的对数凹函数，那么卷积 \((f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy\) 也是对数凹函数。
6 关于广义不等关系的凸性
单调性和凸性的推广。
[单调性] 令 \(K\subseteq R^n\) 是一个正常锥(proper cone) ，有对应的广义不等关系 \(\preceq_K\) 。
- 一个函数 \(f:R^n\rightarrow R\) 叫做\(K\) -非减的，如果
\(x\preceq_K y\Rightarrow f(x)\leq f(y).\)
- \(f\) 是\(K\) -增的，如果
\(x\prec_K y, x\ne y\Rightarrow f(x)<f(y).\)
类似可以定义 \(K\) -非增函数，和 \(K\) -减函数。
[单调性的梯度条件] 一个定义域是凸集的可微函数 \(f\) ，是 \(K\) -非增的，当且仅当对于所有的 \(x\in domf\) 有 \(\nabla f(x)\succeq_{K^*} 0\) .
更严格的情况，如果 \(\nabla f(x)\succ_{K^*} 0\) 对于所有 \(x\in domf\) 成立，那么说 \(f\) 是 \(K\) -增的。
[凸性] 令 \(K\subseteq R^m\) 是一个正常锥，有对应的广义不等关系 \(\preceq_K\) 。
- 函数 f: \(R^n\rightarrow R^m\) 是 \(K\) -凸的，当且仅当对于所有 \(x,y, 0\leq \theta \leq 1\) 有
\(f(\theta x+(1-\theta) y)\preceq_K \theta f(x)+(1-\theta)f(y).\)
- 函数 \(f\) 是严格 \(K\) -凸的，如果对于所有 \(x\ne y, 0< \theta< 1\) 有
\(f(\theta x+(1-\theta) y)\prec_K \theta f(x)+(1-\theta)f(y).\)
[ \(K\) -凸的对偶刻画] 一个函数 \(f\) 是 \(K\) -凸的当且仅当对于每个 \(w\succeq_{K^*} 0\) ，实值函数 \(w^Tf\) 是凸的。 \(f\) 是严格 \(K\) -凸的当且仅当对于每个非零 \(w\succeq_{K^*} 0\) 函数 \(w^Tf\) 是严格凸的。
[可微 \(K\) -凸函数] 一个可微函数 \(f\) 是 \(K\) -凸的当且仅当它的定义域是凸集，并且对于所有的 \(x,y\in domf\) 有
\(f(y)\succeq_K f(x)+Df(x)(y-x).\)
此处 \(Df(x)\in R^{m\times n}\) 是函数 \(f\) 关于 \(x\) 的导数或 Jacobian 矩阵。
函数 \(f\) 是严格 \(K\) -凸的，当且仅当对于所有 \(x,y\in domf ,x\ne y\) 有
\(f(y)\succ_K f(x)+Df(x)(y-x).\)
[复合定理 composition theorem] 凸函数的非减凸函数是凸的。如果 \(g:R^n\rightarrow R^p\) 是 \(K\) -凸的， \(h: R^p\rightarrow R\) 是凸的，且 \(h\) 的值拓展 \(\widetilde{h}\) 是 \(K\) -非减的，那么 \(h\circ g\) 是凸的。
参考文献：Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization