CH-0304 IncDec Sequence

2024-02-22 22:10:22

0304 IncDec Sequence 0x00「基本算法」例题

描述

给定一个长度为 n(n≤10^5 ) 的数列 {a_1,a_2,…,a_n}，每次可以选择一个区间 [l,r]，使下标在这个区间内的数都加一或者都减一。
求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列可能有多少种。

输入格式

第一行一个正整数n。
接下来n行，每行一个整数，第i+1行的整数表示ai。

输出格式

第一行输出最少操作次数。
第二行输出最终能得到多少种结果。

样例输入

样例输出

1

2

数据范围与约定

对于100%的数据，n=100000，0<=ai<2147483648

来源

毕克，石家庄二中【Nescafé 22】杯NOIP模拟赛

OJ-ID：
ch-0304

author：
Caution_X

date of submission：
20191117

tags：
差分

description modelling：
给定长度为n的数组{a1,a2,......,an}，每次可以选择区间[l,r]的所有元素加1或减1
问：至少需要多少次操作使得所有的数都相等，最终得到的数列可能有多少种

major steps to solve it：
（1）作差分数组b[]（b[1]=a[1],b[n+1]=0）
（2）目标是使得b2,b3,.....,bn都为0，记p为b[]正数之和，q为b[]负数之和
（3）每一次对a进行的操作都相当于对b选择两个数分别进行+1和-1
（4）现在讨论b中选择地两个数bi,bj：
   a）（2=<i,j<=n）
   b）（i=1&&j<=n）
   c）（i>=2&&j=n+1）
   d）（i=1&&j=n+1）//d为无效操作，必不是最优解所进行的操作
（5）对于+1和-1操作，为了操作数最少，每次选择正数-1，负数+1，需进行操作min(p,q)
（6）当只有正数和负数时，还剩下|p-q|为配对，选择这些未配对的和b[0]或b[n+1]配对，需进行操作|p-q|，每一次操作都会得到一个新的b[0]，所以最终数组个数为|p-q|+1
（7）综上：最少操作数：min(p,q)+|p-q|，最终数组种类|p-q|+1

AC code：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll a[],b[];

int main()

{

    ll n;

    scanf("%lld",&n);

    for(int i=;i<=n;i++)

    {

        scanf("%lld",&a[i]);

    }

    b[]=a[];

    ll s0=,s1=;

    for(int i=;i<=n;i++)

    {

        b[i]=a[i]-a[i-];

        if(b[i]>)    s0+=b[i];

        else s1+=b[i];

    }

    s0=abs(s0);

    s1=abs(s1);

    b[n+]=;

    ll ans0=min(s0,s1)+abs(s0-s1);

    ll ans1=abs(s0-s1)+;

    printf("%lld\n%lld\n",ans0,ans1);

    return ;

}

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