[HDU 5293]Tree chain problem(树形dp+树链剖分)
题面
在一棵树中，给出若干条链和链的权值，求选取不相交的链使得权值和最大。
分析
考虑树形dp，dp[x]表示以x为子树的最大权值和（选的链都在i的子树中）
设sum[x]表示x的儿子的dp值和，即\(\sum _{y \in \mathrm{son}(x)} dp[y]\)
1.不选两端点lca为x的链，dp[x]=sum[x]
2.选两端点lca为x的链，则dp[x]=max{链的权值+链上节点的所有子节点dp的和 - 链上节点dp和}（因为x的子节点也可能在链上，要去掉），这样选的链一定和lca为x的链不相交。取max即可得到答案。如果不理解，请看下图。
路径为4->7,如果直接对sum求和，我们会把2,3,4,5,6,7都算进答案，但实际上我们只需要5,6,所以再做一次减法，把4->7路径上的点减掉就可以了
预处理的时候可以保存两端点lca为x的链的编号。看到路径求和，我们直接用树链剖分维护即可。从下到上dp,一边更新dp值和sum值，一边求和。
时间复杂度\(O(n\log^2n)\)
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define maxn 100000
#define maxm 100000
using namespace std;
int t,n,m;
struct edge{
int from;
int to;
int next;
}E[maxn*2+5];
int head[maxn+5];
int esz=1;
void add_edge(int u,int v){
esz++;
E[esz].from=u;
E[esz].to=v;
E[esz].next=head[u];
head[u]=esz;
}
struct segment_tree{
struct node{
int l;
int r;
long long sum;
}tree[maxn*4+5];
void push_up(int pos){
tree[pos].sum=tree[pos<<1].sum+tree[pos<<1|1].sum;
}
void build(int l,int r,int pos){
tree[pos].l=l;
tree[pos].r=r;
tree[pos].sum=0;
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,pos<<1);
build(mid+1,r,pos<<1|1);
push_up(pos);
}
void update(int upos,long long uval,int pos){
if(tree[pos].l==tree[pos].r){
tree[pos].sum+=uval;
return;
}
int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;
if(upos<=mid) update(upos,uval,pos<<1);
else update(upos,uval,pos<<1|1);
push_up(pos);
}
long long query(int L,int R,int pos){
if(L<=tree[pos].l&&R>=tree[pos].r){
return tree[pos].sum;
}
int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;
long long ans=0;
if(L<=mid) ans+=query(L,R,pos<<1);
if(R>mid) ans+=query(L,R,pos<<1|1);
return ans;
}
}T1,T2;//T1维护sum,T2维护dp
int tim;
int sz[maxn+5],deep[maxn+5],dfn[maxn+5],top[maxn+5],son[maxn+5],fa[maxn+5];
void dfs1(int x,int f){
fa[x]=f;
sz[x]=1;
deep[x]=deep[f]+1;
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(y!=f){
dfs1(y,x);
sz[x]+=sz[y];
if(sz[y]>sz[son[x]]) son[x]=y;
}
}
}
void dfs2(int x,int t){
top[x]=t;
dfn[x]=++tim;
if(son[x]) dfs2(son[x],t);
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(y!=fa[x]&&y!=son[x]){
dfs2(y,y);
}
}
}
int lca(int x,int y){
while(top[x]!=top[y]){
if(deep[top[x]]>deep[top[y]]) x=fa[top[x]];
else y=fa[top[y]];
}
if(deep[x]<deep[y]) return x;
else return y;
}
void update_point(int x,long long uval,segment_tree &T){
T.update(dfn[x],uval,1);
}
long long query_route(int x,int y,segment_tree &T){
int tx=top[x];
int ty=top[y];
long long ans=0;
while(tx!=ty){
if(deep[tx]<deep[ty]){
swap(tx,ty);
swap(x,y);
}
ans+=T.query(dfn[tx],dfn[x],1);
x=fa[tx];
tx=top[x];
}
if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
ans+=T.query(dfn[x],dfn[y],1);
return ans;
}
struct route{
int x;
int y;
int lc;
long long w;
}q[maxm+5];
vector<int>rid[maxn+5];//两端点lca为x的链的编号
long long sum[maxn+5];//sum(dp[son(x)])
long long dp[maxn+5];
void dfs3(int x){//dp过程
sum[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(y!=fa[x]){
dfs3(y);
sum[x]+=dp[y];
}
}
dp[x]=sum[x];
update_point(x,sum[x],T1);//因为下一步就要用到，这里要更新sum[x]
for(int i=0;i<rid[x].size();i++){
int k=rid[x][i];
dp[x]=max(dp[x],q[k].w+query_route(q[k].x,q[k].y,T1)-query_route(q[k].x,q[k].y,T2));
}
update_point(x,dp[x],T2);
}
void ini(){
memset(deep,0,sizeof(deep));
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(fa,0,sizeof(fa));
memset(head,0,sizeof(head));
for(int i=1;i<=n;i++) rid[i].clear();
memset(son,0,sizeof(son));
memset(sum,0,sizeof(sum));
esz=1;
memset(sz,0,sizeof(sz));
tim=0;
memset(top,0,sizeof(top));
T1.build(1,n,1);
T2.build(1,n,1);
}
int main(){
int u,v,w;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d %d",&n,&m);
ini();
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d %d",&u,&v);
add_edge(u,v);
add_edge(v,u);
}
dfs1(1,0);
dfs2(1,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d %d %lld",&q[i].x,&q[i].y,&q[i].w);
q[i].lc=lca(q[i].x,q[i].y);
rid[q[i].lc].push_back(i);
}
dfs3(1);
printf("%lld\n",dp[1]);
}
}