BZOJ 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose) [莫队算法]【学习笔记】

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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Description

作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。

Output

包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000;
60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。

HINT

 

Source

版权所有者:莫涛


参考资料:

http://blog.csdn.net/bossup/article/details/39236275

http://www.cnblogs.com/hzf-sbit/p/4056874.html

http://hzwer.com/2782.html

对于一个区间的概率,就是每种颜色选2个相同的方案数的和/总的选择方案数

化简之后,就是区间内 (每种颜色的数量^2的和-区间长度)/(区间长度*区间长度减1)

问题变为快速求一个区间内每种颜色数量的平方的和

线段树?可以每种颜色单独维护平方,但是会被卡

所以用到了莫队算法

使用范围:

可离线且在得到区间[l,r]的答案后,能在O(1)或O(log2n)得到区间[l,r+1]或[l−1,r]的答案

其实就是找一个数据结构支持插入、删除时维护当前答案。

这样的话,如果已知[l,r]的答案,要求[l’,r’]的答案,我们很容易通过|l – l’|+|r – r’|次转移内求得。

抽象成平面上的点,我们要按一定顺序计算每个值,那开销就为曼哈顿距离的和。曼哈顿距离最小生成树

这里通常用分块解决

n个数分块

按区间排序,以左端点所在块内为第一关键字,右端点为第二关键字,进行排序,也就是以(pos [l],r)排序
然后按这个排序直接暴力,复杂度分析是这样的:
1、i与i+1在同一块内,r单调递增,所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。
2、i与i+1跨越一块,r最多变化n,由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5
3、i与i+1在同一块内时l变化不超过n^0.5,跨越一块也不会超过n^0.5,由于有m次询问(和n同级),所以时间复杂度是n^1.5
于是就是O(n^1.5)了

为什么这么分块呢?

不这样的话随便构造一组数据就可以卡啊,让l为根号n一组分析见上

本题s[]保存某种颜色在当前区间出现次数,ans保存当前区间s的平方和

对于本题来说,[l,r]到[l,r+1]就是 r+1的颜色个数多了1,设x=s[c[r+1]]分子前面一部分+(x+1)^2-x^2,化简后就是+2*x+1

其他的类似

【11:36:10】ans维护的是当前区间的答案,移动的时候想想什么进来了或者什么出去了就行了

注意:

1.本题update时注意是那个位置的颜色,如update(r+1,1)含义是r+1 的颜色个数多了1

2.update的常数很重要,+d*2*x+1比if分类d处理快了近一倍

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e4+;
inline int read(){
char c=getchar();int x=,f=;
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
return x*f;
}
int n,Q,c[N],l,r,bl,pos[N],a[N];
ll s[N],ans;
ll gcd(ll a,ll b){return b==?a:gcd(b,a%b);}
struct data{
int l,r,id;
ll a,b;
bool operator <(const data &x)const{
if(pos[l]==pos[x.l]) return r<x.r;
else return pos[l]<pos[x.l];
}
void modify(){
ll k=gcd(a,b);
a/=k;b/=k;
}
}q[N];
void update(int p,int d){
ans+=d**s[c[p]]+;
s[c[p]]+=d;
}
void sol(){
int l=,r=;
for(int i=;i<=Q;i++){
while(r<q[i].r) r++,update(r,);
while(r>q[i].r) update(r,-),r--;
while(l<q[i].l) update(l,-),l++;
while(l>q[i].l) l--,update(l,);
if(q[i].l==q[i].r){q[i].a=;q[i].b=;continue;}
q[i].a=ans-(q[i].r-q[i].l+);
q[i].b=(ll)(q[i].r-q[i].l+)*(q[i].r-q[i].l);
q[i].modify();
a[q[i].id]=i;
}
}
int main(){
n=read();Q=read();
bl=sqrt(n);
for(int i=;i<=n;i++) c[i]=read(),pos[i]=(i-)/bl+;
for(int i=;i<=Q;i++) q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].id=i;
sort(q+,q++Q);
sol();
for(int i=;i<=Q;i++)
printf("%lld/%lld\n",q[a[i]].a,q[a[i]].b);
}
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