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1 问题描述
何为Floyd算法？
Floyd算法功能：给定一个加权连通图，求取从每一个顶点到其它所有顶点之间的最短距离。（PS：其实现功能也称完全最短路径问题）
Floyd算法思想：将顶点i到j的直接距离依次与顶点i到顶点j之间加入k个中间节点之后的距离进行比较，从中选出最短的一组距离，即为顶点i到顶点j的最短距离，然后重复上述步骤求取其它顶点之间的最短距离。
2 解决方案
2.1 使用Floyd算法得到最短距离示例
此处借用《算法设计与分析基础》第3版上一个插图：
其中，
- D(0)表示不包含中间节点，即给定图的原始权重矩阵；
- D(1)表示加入一个中间节点a；
- D(2)表示在D(1)的基础上再加入一个中间节点b；
- D(3)表示在D(2)的基础上再加入一个中间节点c；
- D(4)表示在D(3)的基础上再加入一个中间节点d，这时就可得到最终结果。
每次加入一个中间节点后，都要更新所有顶点之间的最短距离，直到所有顶点均可以作为中间顶点之后，才算更新完毕，即可得到最终结果。
2.2 具体编码
Floyd是计算每对顶点间最短路径的经典算法，其采用的思想是动态规划法。
时间复杂度是雷打不动的O(n^3)。
注意，Floyd算法计算最短距离可以有负权值的边，但不能有权值和为负数的回路。
下面代码中所用图的数据便是2.1中示例图的数据。
具体代码如下：
package com.liuzhen.chapter9;
public class Floyd {
/*
* 参数adjMatrix：给定连通图的权重矩阵，其中权重为-1表示两个顶点不能直接相连
* 函数功能：返回所有顶点之间的最短距离权重矩阵
*/
public void getShortestPaths(int[][] adjMatrix) {
for(int k = 0;k < adjMatrix.length;k++) {
for(int i = 0;i < adjMatrix.length;i++) {
for(int j = 0;j < adjMatrix.length;j++) {
if(adjMatrix[i][k] != -1 && adjMatrix[k][j] != -1) {
int temp = adjMatrix[i][k] + adjMatrix[k][j]; //含有中间节点k的顶点i到顶点j的距离
if(adjMatrix[i][j] == -1 || adjMatrix[i][j] > temp)
adjMatrix[i][j] = temp;
}
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Floyd test = new Floyd();
int[][] adjMatrix = {{0,-1,3,-1},
{2,0,-1,-1},
{-1,7,0,1},
{6,-1,-1,0}};
test.getShortestPaths(adjMatrix);
System.out.println("使用Floyd算法得到的所有顶点之间的最短距离权重矩阵为：");
for(int i = 0;i < adjMatrix.length;i++) {
for(int j = 0;j < adjMatrix[0].length;j++)
System.out.print(adjMatrix[i][j]+" ");
System.out.println();
}
}
}
运行结果：
使用Floyd算法得到的所有顶点之间的最短距离权重矩阵为：
0 10 3 4
2 0 5 6
7 7 0 1
6 16 9 0
参考资料：
1.《算法设计与分析基础》第3版 （美）Anany Levitin 著 潘彦 译
2.最短路径