题意

给定一个n*m的01矩阵，寻找最大的，相邻值不相同的子矩阵与子方阵。

\(n,m\leq 2,000\)

分析

朴素的做法是枚举两个点来确定矩阵，再暴力判断能不能满足条件。

复杂度\(O(n^4)\)爆炸。考虑优化：判断能不能满足条件时，存在很多重复判断，可以预处理。

但是，怎样进行预处理呢？这就需要我们改变枚举方式，简化预处理的步骤。

悬线法

今年应该不考

是一种DP(?)算法，常用于求满足条件的矩阵。

如果将一条线当做1*k的矩阵看待，则我们枚举每一条满足条件的线，并尝试将其向左右拓展构造矩阵。

那么只要在左右拓展长度中分别取min，就是所求答案。这种方法的复杂度是多少？

每个点如果和上方不同，就可以接到上面的线中。所以枚举每个点，就可以递推求出悬线up

\[up_{i,j}=up_{i-1,j}+(b_{i,j}\not= b_{i,j})\]

其中b是原始矩阵，初始值是1。复杂度\(O(n^2)\)

左右端拓展的对象是单个点，所以对于每个点都预处理出能向左右拓展到的位置。用递推求出。

\[\begin{cases}b_{i,j}\not=b_{i,j-1}\quad left_{i,j}=j\\b_{i,j}=b_{i,j-1}\quad left_{i,j}=left_{i,j-1}\end{cases}\]

\[\begin{cases}b_{i,j}\not=b_{i,j+1}\quad right_{i,j}=j\\b_{i,j}=b_{i,j+1}\quad right_{i,j}=right_{i,j+1}\end{cases}\]

复杂度仍然\(O(n^2)\)

2k可过。

正确性

我们需要证明的是，悬线法可以枚举到所有矩形。

假设我们要在这一团满足条件的联通块中找矩形。（丑，真TM丑）

那么它会不会取蓝色呢？不会，很明显绿色比他更优。有一个性质：矩形边缘必然紧贴联通块边缘。

所以对于每条悬线，它取到的矩阵是尽量大的。

（其实绿色也不满足，因为左右端没有取完整。）

画图宝才，luogu捡到鬼了

由刚才的性质得出，这个矩形所在的联通块即便边缘再粗糙，总是会有一条悬线的上端和矩形的上端重合。

所以，只要每条悬线都枚举到，每个可能是答案的矩形就会枚举到，而且会让它们尽量大。这题就解决了。

代码

别看了 抄的

#include<cstdio>//iostream库有left函数，会冲突
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=2005;
int n,m;
bool b[MAXN][MAXN];
int left[MAXN][MAXN],right[MAXN][MAXN],up[MAXN][MAXN];
int sq,rect,temp;

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            left[i][j]=right[i][j]=j,up[i][j]=1,scanf("%d",&b[i][j]);
            //输入、初始化 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=2;j<=m;j++)
            if(b[i][j]!=b[i][j-1])
                left[i][j]=left[i][j-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m-1;j>=1;j--)
            if(b[i][j]!=b[i][j+1])
                right[i][j]=right[i][j+1];
            //递推预处理，注意范围和顺序 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(i>1&&b[i-1][j]!=b[i][j])
            {
                up[i][j]=up[i-1][j]+1;
                left[i][j]=max(left[i][j],left[i-1][j]);
                right[i][j]=min(right[i][j],right[i-1][j]);
                //由于是矩形，left和right不能越界，要取一遍最小值
                //另外看清楚存储的是位置不是距离，所以左端取距离更短相当于位置更靠后，下标更大。 
            }
            temp=(right[i][j]-left[i][j]+1);
            rect=max(rect,up[i][j]*temp);
            sq=max(sq,min(up[i][j],temp)*min(up[i][j],temp));
            //正方形同理。 
        }
    printf("%d\n%d\n",sq,rect);
    return 0;
}

最后，祝大家身体健康，再见。