[BZOJ5109]大吉大利，晚上吃鸡！
题目大意：
一张\(n(n\le5\times10^4)\)个点\(m(m\le5\times10^4)\)条边的无向图，节点编号为\(1\)到\(n\)，边权为正整数。给定\(S\)和\(T\)，显然从\(S\)到\(T\)的最短路有一种或多种方案。
选择\(A,B\)两个点，约定\(A\)点和\(B\)点必须满足：
- 所有可能路径中，必定会经过\(A\)点和\(B\)点中的任意一点；
- 所有可能路径中，不存在一条路径同时经过\(A\)点和\(B\)点。
求满足上面两个条件的\(A,B\)点对有多少个，交换\(A,B\)的顺序算相同的方案。
思路：
首先用Dijkstra求出最短路网络，显然这是一个DAG。
在DAG上DP求出一个点到\(S/T\)的方案数，将它们相乘即为经过这个点的路径数，记作\(F(i)\)。我们同样也可以用bitset求出经过这个点的路径上可能经过的点，记作\(S(i)\)。
而题目所求的\(A\)和\(B\)相当于需要满足以下两个条件：
- \(F(A)+F(B)=F(T)\)；
- \(A\notin F(B)\)且\(B\notin F(A)\)。
显然枚举\(A\)和\(B\)会超时，由于\(F(A)+F(B)=F(T)\)。我们可以开一个map<int,bitset>保存\(F(B)=F(T)-F(A)\)的可能的\(B\)。
此时我们只需要枚举\(A\)，然后在map上查找对应的\(B\)即可。
源代码：
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<climits>
#include<functional>
#include<tr1/unordered_map>
#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
inline int getint() {
register char ch;
while(!isdigit(ch=getchar()));
register int x=ch^'0';
while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
return x;
}
typedef long long int64;
const int N=5e4+1,M=5e4;
struct Edge2 {
int u,v,w;
};
Edge2 edge[M];
struct Edge3 {
int to,w;
};
std::vector<Edge3> e3[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v,const int &w) {
e3[u].push_back((Edge3){v,w});
e3[v].push_back((Edge3){u,w});
}
bool vis[N];
int n,m,s,t,ind[N],ind2[N],outd[N];
int64 diss[N],dist[N],f[N],g[N],ans;
struct Vertex {
int id;
int64 d;
bool operator > (const Vertex &rhs) const {
return d>rhs.d;
}
};
inline void dijkstra(const int &s,int64 dis[]) {
static __gnu_pbds::priority_queue<Vertex,std::greater<Vertex> > q;
static __gnu_pbds::priority_queue<Vertex,std::greater<Vertex> >::point_iterator p[N];
for(register int i=1;i<=n;i++) {
p[i]=q.push((Vertex){i,dis[i]=i==s?0:LLONG_MAX});
}
while(!q.empty()&&q.top().d!=LLONG_MAX) {
const int x=q.top().id;
q.pop();
for(register unsigned i=0;i<e3[x].size();i++) {
const int &y=e3[x][i].to,&w=e3[x][i].w;
if(dis[x]+w<dis[y]) {
q.modify(p[y],(Vertex){y,dis[y]=dis[x]+w});
}
}
}
q.clear();
}
std::vector<int> e[N],e4[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v) {
e[u].push_back(v);
e4[v].push_back(u);
ind[v]++;
ind2[v]++;
outd[u]++;
}
std::queue<int> q;
std::bitset<N> b[N];
inline void kahn2() {
q.push(t);
g[t]=1;
while(!q.empty()) {
const int &x=q.front();
for(register unsigned i=0;i<e4[x].size();i++) {
const int &y=e4[x][i];
g[y]+=g[x];
if(!--outd[y]) q.push(y);
}
q.pop();
}
}
inline void kahn() {
q.push(s);
f[s]=1;
while(!q.empty()) {
const int &x=q.front();
b[x][x]=true;
for(register unsigned i=0;i<e[x].size();i++) {
const int &y=e[x][i];
b[y]|=b[x];
f[y]+=f[x];
if(!--ind[y]) q.push(y);
}
q.pop();
}
}
inline void kahn3() {
q.push(s);
while(!q.empty()) {
const int &x=q.front();
b[0][x]=true;
b[x]=b[0]^b[x];
for(register unsigned i=0;i<e[x].size();i++) {
const int &y=e[x][i];
if(!--ind2[y]) q.push(y);
}
q.pop();
}
}
std::tr1::unordered_map<int64,std::bitset<N> > map;
int main() {
n=getint(),m=getint(),s=getint(),t=getint();
for(register int i=0;i<m;i++) {
const int u=getint(),v=getint(),w=getint();
edge[i]=(Edge2){u,v,w};
add_edge(u,v,w);
}
dijkstra(s,diss);
if(diss[t]==LLONG_MAX) {
printf("%lld\n",(int64)n*(n-1)/2);
return 0;
}
dijkstra(t,dist);
for(register int i=1;i<=n;i++) e3[i].clear();
for(register int i=0;i<m;i++) {
int u=edge[i].u,v=edge[i].v,w=edge[i].w;
if(diss[u]>diss[v]) std::swap(u,v);
if(diss[u]+w+dist[v]==diss[t]) {
add_edge(u,v);
vis[u]=vis[v]=true;
}
}
int cnt=0;
for(register int i=1;i<=n;i++) cnt+=!vis[i];
kahn2();
kahn();
kahn3();
for(register int i=1;i<=n;i++) {
if(vis[i]) map[f[i]*g[i]][i]=true;
}
for(register int i=1;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) continue;
if(map.count(f[t]-f[i]*g[i])) ans+=(map[f[t]-f[i]*g[i]]&b[i]).count();
if(f[i]*g[i]==f[t]) ans+=cnt;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}