题目

在一个3×3的网格中，1~8这8个数字和一个“x”恰好不重不漏地分布在这3×3的网格中。

例如：

1 2 3
x 4 6
7 5 8

在游戏过程中，可以把“x”与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：

1 2 3
4 5 6
7 8 x

例如，示例中图形就可以通过让“x”先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。

交换过程如下：

1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3
x 4 6   4 x 6   4 5 6   4 5 6
7 5 8   7 5 8   7 x 8   7 8 x

现在，给你一个初始网格，请你求出得到正确排列至少需要进行多少次交换。

输入格式

输入占一行，将3×3的初始网格描绘出来。

例如，如果初始网格如下所示：
1 2 3

x 4 6

7 5 8

则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式

输出占一行，包含一个整数，表示最少交换次数。

如果不存在解决方案，则输出”-1”。

输入样例：

2  3  4  1  5  x  7  6  8 

输出样例

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前置知识

康托展开\(\sum_{i=0}^{n-1}d[i]*i!\)

这道题目主要的难点就是判断重复，显然直接判断矩阵最坏情况是比较\(9^4\)次，如此暴力判断重复不可行，故使用字符串存储数码，然后使用康托展开来判断重复。

实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 20;

bool vis[362880];   //362879 is ok
int fact[10];       //9 is ok
int dx[5]={0,0,0,1,-1};
int dy[5]={0,-1,1,0,0};

typedef struct{
    char s[12];
    int k;          //k is the postion of x
    int step;
}Point;

int permutation_hash(char *a,int n){
    int ans=0,d;
    for(int i=0;i<n;i++){
        d=0;
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(a[j]>a[i])d++;
        }
        ans+=d*fact[i];
    }
    return ans;
}

void init_fact(){
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=9;i++)fact[i]=fact[i-1]*i;
}

bool check(int x,int y){
    if(x >= 0 && x <= 2 && y >= 0 && y <= 2)return true;
    return false;
}

int bfs(Point p){
    vis[permutation_hash(p.s,9)]=true;
    queue<Point> Q;
    Q.push(p);
    while(!Q.empty()){
        p=Q.front();
        Q.pop();
        if(!strcmp(p.s,"12345678x"))    return p.step;
        int x = p.k/3;
        int y = p.k%3;
        Point ret;
        ret.step=p.step+1;
        for(int i=1;i<=4;i++){
            int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
            if(check(nx,ny)){
                ret.k=nx*3+ny;
                strcpy(ret.s, p.s);
                ret.s[9] = 0;
                ret.s[p.k] = p.s[ret.k];      
                ret.s[ret.k] = 'x';

                int hash = permutation_hash(ret.s,9);
                if(!vis[hash]){
                    vis[hash] = true;
                    Q.push(ret);
                }
            }

        }
    }
    return -1;
}

int main(){
    init_fact();
    char c[2];
    Point start;
    for(int i = 0; i < 9; i ++){
        scanf("%s",&c);
        if(c[0] == 'x')  start.k = i;
        start.s[i] = c[0];
    }
    start.s[9] = 0;
    start.step = 0;
    printf("%d",bfs(start));
    return 0;
}

TODO

尝试使用双向广搜,IDA*,A*算法实现优化。链接——八数码(八境界)