（五）树与树算法

2022-02-27 18:10:51

1.树的概念

树（tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

1.1树的特点：

每个节点有零个或多个子节点；
没有父节点的节点称为根节点；
每一个非根节点有且只有一个父节点；
除了根节点外，每一个子节点可以分为多个不相交的子树。

1.2树的术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
叶节点或终端节点：度为零的节点；
父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则称这个节点为该子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中结点的最大层次；
堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
森林：由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林。

1.3树的种类

无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系；
有序树：树中任意节点的子节点之间由顺序关系；
- 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树，即不存在度大于2的结点。
  - 满二叉树：深度为h并且含有2^h-1个结点的二叉树为满二叉树；
  - 完全二叉树：若一棵二叉树除了最下层外、其它层构成一个满二叉树，并且最下层中的结点都集中在该层最左边的若干位置上；
  - 平衡二叉树：二叉树上每个结点的左、右子树深度差的绝对值不超过1；
  - 排序二叉树：
- 霍尔曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈尔曼树或最优二叉树；
- B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余俩个子树

1.4树的存储与表示

顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，在遍历速度上具有一定优势，但所占空间非常大。二叉树通常以链式存储。

1.5常见的一些树的应用场景

mysql数据库索引
文件系统的目录结构
路由协议等

2.二叉树

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”和“右子树”。

2.1 二叉树的性质

2.2 二叉树的广度优先遍历和二叉树的实现

"""往二叉树上添加元素"""
class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.elem=item
        self.lchild=None
        self.rchild=None

class Tree (object):
    """二叉树"""
    def __init__(self):
        self.root=None
        
    def add(self,item):
        node=Node(item)
        if self.root is None:
            self.root=node
            return
        queue=[]  #假设这里的队列直接按照队列的方式操作，不写相关的代码
        queue.append(self.root)
        
        while queue:
            cur_node=queue.pop(0)
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild=node
                return
            else:
                queue.append( cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild=node
                return
            else:
                queue.append( cur_node.rchild)

def breadth_travel(self):
    """广度遍历，也称为层次遍历"""
    if self.root is None:
        return
    queue=[self.root]
    while queue:
        cur_node=queue.pop(0)
        print(cur_node.elem)
        if cur_node.lchild  is not None:
            queue.append(cur_node.lchild)
        if cur_node.rchild  is not None:
            queue.append(cur_node.rchild)

2.3二叉树的先序、中序、后序遍历

深度遍历有三种方式：先序遍历（先根、左、右）、中序（左-根-右）、后序（左-右-根）

def preorder(self,node):
    """先序遍历"""
    if node is None:
        return
    print(node.elem)
    preorder(node.lchild)
    preorder(node.rchild)
    
def inorder(self,node):
    """中序遍历"""
    if node is None:
        return
    inorder(node.lchild)
    print(node.elem)
    inorder(node.rchild)   
    
def postorder(self,node):
    """后序遍历"""
    if node is None:
        return
    postorder(node.lchild)
    postorder(node.rchild)
    print(node.elem)

2.4 二叉树由遍历确定一棵树

必须要给定中序，然后给定先序或后序两者之一就可以把树还原出来。

因为中序才能分开左子树和右子树。

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