BZOJ3625

考虑二叉树的计数，一个二叉树是由根节点和左右子树组成的，并且左右子树都是二叉树
根据生成函数的应用中树的计数我们可知，两树形态一样的时候可以共用一个生成函数
所以我们可以用$F(x)$F(x)表示二叉树的生成函数，则我们还需要一个$G(x)$G(x)表示一个点的生成函数
只需要一个点，为什么还要点的生成函数？
这个点的权值会影响最终的答案，所以$G(x)$G(x)表示的实际上是点权的生成函数
具体的，$g[i]=1$g[i]=1当且仅当权值$i$i在序列$C$C中出现了
那么拼接就可以表示为$F=F^2G+1$F=F2G+1
根据求根公式：
$F=\frac{1\pm\sqrt{1-4G}}{2G}$F=2G1±1−4G​​
$F=\frac{2}{1\mp\sqrt{1-4G}}$F=1∓1−4G​2​
舍去减的根，它在0处不收敛
所以就多项式开方求逆就好了

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define poly vector<int>
#define ll long long
#define mod 998244353
using namespace std;
inline int read(){
	int res=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return res*f;
}
inline int add(int x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;return x;}
inline int dec(int x,int y){x-=y;if(x<0) x+=mod;return x;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline void Mul(int &x,int y){x=1ll*x*y%mod;}
inline void inc(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;}
inline int ksm(int a,int b){int res=1;for(;b;b>>=1,Mul(a,a)) if(b&1) Mul(res,a);return res;}
namespace Ntt{
	const int N=1e6+5;
	int *w[22],rev[N<<2];
	inline void init(int n){for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));}
	inline void init_w(){
		for(int i=1;i<=21;i++) w[i]=new int[1<<(i-1)];
		int wn=ksm(3,(mod-1)/(1<<21));
		w[21][0]=1;
		for(int i=1;i<(1<<(20));i++) w[21][i]=mul(w[21][i-1],wn);
		for(int i=20;i;i--)
			for(int j=0;j<(1<<(i-1));j++) w[i][j]=w[i+1][j<<1];
	}
	inline void ntt(poly &f,int n,int kd){
		for(int i=0;i<n;i++) if(i>rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
		for(int mid=1,l=1;mid<n;mid<<=1,l++){
			for(int i=0;i<n;i+=(mid<<1)){
				for(int j=0,a0,a1;j<mid;j++){
					a0=f[i+j],a1=mul(f[i+j+mid],w[l][j]);
					f[i+j]=add(a0,a1);f[i+j+mid]=dec(a0,a1);
				}
			}
		}
		if(kd==-1 && (reverse(f.begin()+1,f.begin()+n),1))
			for(int inv=ksm(n,mod-2),i=0;i<n;i++) Mul(f[i],inv);
	}
	inline poly operator -(poly a,int b){for(int i=0;i<a.size();i++) a[i]=dec(a[i],b);return a;}
	inline poly operator *(poly a,int b){for(int i=0;i<a.size();i++) Mul(a[i],b);return a;}
	inline poly operator +(poly a,int b){for(int i=0;i<a.size();i++) inc(a[i],b);return a;}
	inline poly operator *(poly a,poly b){
		int m=a.size()+b.size()-1,n=1;
		if(m<=128){
			poly c(m,0);
			for(int i=0;i<a.size();i++)
				for(int j=0;j<b.size();j++) inc(c[i+j],mul(a[i],b[j]));
			return c;	
		}
		while(n<m) n<<=1;
		init(n);
		a.resize(n);ntt(a,n,1);
		b.resize(n);ntt(b,n,1);
		for(int i=0;i<n;i++) Mul(a[i],b[i]);
		ntt(a,n,-1);a.resize(m);
		return a;
	}
}
using namespace Ntt;
int inv2;
inline poly Inv(poly a,int n){
	poly c,b(1,ksm(a[0],mod-2));
	for(int lim=4;lim<(n<<2);lim<<=1){
		init(lim);
		c=a;c.resize(lim>>1);
		c.resize(lim);ntt(c,lim,1);
		b.resize(lim);ntt(b,lim,1);
		for(int i=0;i<lim;i++) Mul(b[i],dec(2,mul(b[i],c[i])));
		ntt(b,lim,-1);b.resize(lim>>1);
	}
	b.resize(n);return b;
}
inline poly sqr(poly a,int n){
	poly b(1,1),c,d;
	for(int lim=4;lim<(n<<2);lim<<=1){
		c=a;c.resize(lim>>1);
		init(lim);d=Inv(b,lim>>1);
		c.resize(lim);ntt(c,lim,1);
		d.resize(lim);ntt(d,lim,1);
		for(int i=0;i<lim;i++) Mul(c[i],d[i]);
		ntt(c,lim,-1);b.resize(lim>>1);
		for(int i=0;i<(lim>>1);i++) b[i]=mul(inv2,add(b[i],c[i]));
	}
	b.resize(n);return b;
}
poly a,b,ans;
int main(){
	inv2=ksm(2,mod-2);init_w();int n=read(),m=read();a.resize(100001);
	for(int x,i=1;i<=n;i++) x=read(),a[x]=1;
	a=a*(-4);
	a[0]+=1;
	b=sqr(a,m+1);
	b[0]+=1;
	ans=Inv(b,m+1);
	ans=ans*2;
	for(int i=1;i<=m;i++) cout<<ans[i]<<"\n";
	return 0;
}