P2466 [SDOI2008]Sue的小球
题目描述
Sue和Sandy最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue有一支轻便小巧的小船。然而，Sue的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响Sue的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。
然而Sandy就没有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型：
以Sue的初始位置所在水平面作为\(x\)轴。
一开始空中有\(N\)个彩蛋，对于第\(i\)个彩蛋，他的初始位置用整数坐标\((xi, yi)\)表示，游戏开始后，它匀速沿\(y\)轴负方向下落,速度为\(v_i\)单位距离/单位时间。Sue的初始位置为\((x0, 0)\)，Sue可以沿x轴的正方向或负方向移动，Sue的移动速度是1单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的\(y\)坐标的千分之一。
现在，Sue和Sandy请你来帮忙，为了满足Sue和Sandy各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。
输入输出格式
输入格式：
第一行为两个整数\(N\), \(x0\)用一个空格分隔，表示彩蛋个数与Sue的初始位置。
第二行为\(N\)个整数\(x_i\)，每两个数用一个空格分隔，第\(i\)个数表示第\(i\)个彩蛋的初始横坐标。
第三行为\(N\)个整数\(y_i\)，每两个数用一个空格分隔，第\(i\)个数表示第\(i\)个彩蛋的初始纵坐标。
第四行为\(N\)个整数\(v_i\)，每两个数用一个空格分隔，第\(i\)个数表示第\(i\)个彩蛋匀速沿\(y\)轴负方向下落的的速度。
输出格式：
一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。
说明
对于30%的数据，\(N<=20\)。
对于60%的数据，\(N<=100\)。
对于100%的数据，\(-10^4 <= xi,yi,vi <= 10^4，N < = 1000\)
从暴力开始
我们发现，对于当前时间所处的每一个位置，我们有且仅有两个选择（即向左或向右）
30分到手，\(O(2^N)\)的复杂度。
既然有向左或向右的选择，很容易联想到DP上去啊。
令\(dp[i][j]\)代表已经处理左端为\(i\)号彩蛋和右端为\(j\)号彩蛋时的区间所产生的最大分数。
试试写转移的话，我们会发现两个问题。
对于当前位置的信息我们需要存储一下，也就是在左端点还是右端点，多开一维维护即可。
对于彩蛋的分数，是和时间挂钩的，如果想完整的求解，得把时间压进去啊。
时间压进去肯定爆了有没有别的办法呢？
当然有，每一个点的最终得分其实不就等于 它的初始得分 减去 它的损失分 吗
我们尝试维护这样一个损失分的最小值。
对于 每一段转移的时候 我们都能求出 这段时间内 还没有得到的彩蛋的分的 损失值
\(dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+(t[i+1].x-t[i].x)*(sumv[i]+sumv[n]-sumv[j]),\)
\(dp[i+1][j][1]+(t[j].x-t[i].x)*(sumv[i]+sumv[n]-sumv[j]));\)
\(dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+(t[j].x-t[i].x)*(sumv[i-1]+sumv[n]-sumv[j-1]),\)
\(dp[i][j-1][1]+(t[j].x-t[j-1].x)*(sumv[i-1]+sumv[n]-sumv[j-1]));\)
其中，\(sumv[i]\)维护的是速度的前缀和数组。
code:
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=1002;
double x0,sumv[N],sumy;
int n;
double dp[N][N][2];
double abs(double x) {return x>0?x:-x;}
struct node
{
double x,y,v;
bool friend operator <(node n1,node n2)
{
return n1.x<n2.x;
}
}t[N];
int main()
{
scanf("%d%lf",&n,&x0);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=1e300;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lf",&t[i].x);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lf",&t[i].y);
sumy+=t[i].y;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lf",&t[i].v);
sort(t+1,t+1+n);
for(int i=1;i<=n;i++)
sumv[i]=sumv[i-1]+t[i].v;
for(int i=1;i<=n;i++)
dp[i][i][0]=dp[i][i][1]=(abs(t[i].x-x0))*sumv[n];
for(int i=n-1;i>=1;i--)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+(t[i+1].x-t[i].x)*(sumv[i]+sumv[n]-sumv[j]),
dp[i+1][j][1]+(t[j].x-t[i].x)*(sumv[i]+sumv[n]-sumv[j]));
dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+(t[j].x-t[i].x)*(sumv[i-1]+sumv[n]-sumv[j-1]),
dp[i][j-1][1]+(t[j].x-t[j-1].x)*(sumv[i-1]+sumv[n]-sumv[j-1]));
}
printf("%.3lf\n",(sumy-min(dp[1][n][0],dp[1][n][1]))/1000.0);
return 0;
}
我居然又在离散化（排序）之前求了\(sumv\)，还找了许久的错啊。。。
丢人。。
2018.5.21