二分搜索框架

int L,R,key;
while(L<=R)
{
    int mid=(L+R)>>1;
    if(a[mid]<key or a[mid]<=key)
        L=mid+1;
    else
        R=mid-1;
}
return L or R;

问题

二分搜索大家都很熟悉。如果待查区间内只有一个key值，要求找出key，那么一切都很容易。

但是如果有多个key，或者没有key，在不依赖现有库函数的情况下，怎么做到返回第一个key的位置，或最后一个key的位置，或者第一个大于key的位置此类的要求呢？

解决

其实很简单，只需要关注两个部分，一个是比较，另一个是返回值。

比较的控制

1. 假设区间内有key，那么a[mid]<=key的写法会使得左端点一直向右移动。这样当L==R时，找到的就是最后一个key的位置。

   同理，a[mid]<key的写法会使得右端点向左移动，当L==R时，找到的就是第一个key的位置。

2. 若区间内没有key，那么两种写法是等价的，因为不存在a[mid]==key的情况。

返回值的问题

? 注意到，二分搜索结束的条件是L>R，那么最后的状态一定是L在R的右边，二者相邻。

1. 如果有key，那么根据上文中所述的写法的不同，会有两种情况。

   1.1 R指向最后一个key，L在R右侧。

   1.2 L指向第一个key，R在L左侧。

2. 如果没有key。那么只有一种情况，即L指向第一个大于key的元素，R指向最后一个小于key的元素。

至此问题就解决了，只需要控制这两部分，就可以实现任意一种二分搜索的变体。

示例

1. 查找第一个大于key的元素位置（类似stl的upper_bound的功能）

   int L,R,key;
   while(L<=R)
   {
       int mid=(L+R)>>1;
       if(a[mid]<=key)
           L=mid+1;
       else
           R=mid-1;
   }
   return L;
   

2. 查找第一个key的位置，若不存在，则返回第一个大于key的元素位置（类似stl的lower_bound的功能）

   int L,R,key;
   while(L<=R)
   {
       int mid=(L+R)>>1;
       if(a[mid]<key)
           L=mid+1;
       else
           R=mid-1;
   }
   return L;
   

3. 查找最后一个小于等于key的元素的位置

   int L,R,key;
   while(L<=R)
   {
       int mid=(L+R)>>1;
       if(a[mid]<=key)
           L=mid+1;
       else
           R=mid-1;
   }
   return R;
   

二分搜索的写法