bzoj-4517 4517: [Sdoi2016]排列计数(组合数学)

2022-10-15 19:50:55

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4517: [Sdoi2016]排列计数

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Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

题意：

思路：

我们很容易知道方案数是C(n,m)*dp[n-m];

dp[n]表示n的错排数;递推公式是dp[n]=(n-1)*(dp[n-1]+dp[n-2])=n*dp[n-1]+(-1)ⁿ ;

AC代码：

/**************************************************************

    Problem: 4517

    User: LittlePointer

    Language: C++

    Result: Accepted

    Time:11108 ms

    Memory:16916 kb

****************************************************************/

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const LL mod=1e9+7;

const int maxn=1e6+10;

LL dp[maxn],p[maxn];

inline void init()

{

    dp[0]=1;dp[1]=0;dp[2]=1;p[1]=1;p[2]=2;p[0]=1;

    for(int i=3;i<maxn;i++)dp[i]=(LL)(i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2])%mod,p[i]=p[i-1]*(LL)i%mod;

}

LL pow_mod(LL x,LL y)

{

    LL s=1,base=x;

    while(y)

    {

        if(y&1)s=s*base%mod;

        base=base*base%mod;

        y>>=1;

    }

    return s;

}

int main()

{

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    init();

    int t,n,m;

    scanf("%d",&t);

    while(t--)

    {

        scanf("%d%d",&n,&m);

        if(m>n){puts("0");continue;}

        LL ans=p[n]*dp[n-m]%mod,temp=p[m]*p[n-m]%mod;

        ans=ans*pow_mod(temp,mod-2)%mod;

        printf("%lld\n",ans);

    }

    return 0;

}

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